Треугольники: виды и периметр: контрольная работа с ответами

Виды треугольников: по сторонам и по углам

Контрольная по геометрии в 5 классе почти всегда начинается с вопроса: какие бывают треугольники? Если названия путаются, дальше решать уже нечего. Разберём виды треугольников и научимся считать периметр так, чтобы на контрольной ты действовал по алгоритму, а не угадывал.

Треугольник — это фигура из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, которые их соединяют. Точки называют вершинами, отрезки — сторонами, а углы между соседними сторонами — углами треугольника. Важное свойство: сумма всех трёх углов всегда равна 180°.

По сторонам различают три вида. Разносторонний — все стороны разной длины. Равнобедренный — две стороны равны, их называют боковыми, а третью — основанием. Равносторонний — все стороны равны, и все углы у него по 60°.

По углам тоже три вида. Остроугольный — все углы меньше 90°. Прямоугольный — есть угол ровно 90°: стороны, которые его образуют, — катеты, а самая длинная сторона — гипотенуза. Тупоугольный — один угол больше 90°.

Периметр треугольника: формула и единицы

Периметр — это сумма длин всех сторон фигуры. Обозначают его буквой P, а измеряют в тех же единицах, что и стороны: в сантиметрах, миллиметрах, метрах.

P = a + b + c
a = 7 см, b = 9 см, c = 12 см
P = 7 + 9 + 12 = 28 см

Проще говоря, периметр — это длина «забора» вокруг фигуры. Если стороны даны десятичными дробями, складывать их нужно, выравнивая запятые: подробный разбор есть в статье про десятичные дроби.

Для равнобедренного треугольника формула короче: P = 2a + b, где a — боковая сторона, b — основание. Для равностороннего ещё короче: P = 3a, потому что все три стороны одинаковые. Запомнив эти два случая, ты сэкономишь время на контрольной.

Не путай периметр с площадью: площадь измеряют в квадратных единицах (см²), а периметр — в обычных (см). У объёмных тел, например у куба, периметра нет — там считают сумму длин всех рёбер, об этом читай в статье куб и параллелепипед: объём.

Разобранный пример: оформляем решение полностью

Теперь решим задачу целиком, как это делают на контрольной. Условие: стороны треугольника равны 4,5 см, 6 см и 3,5 см. Найди периметр.

Дано: a = 4,5 см, b = 6 см, c = 3,5 см
Найти: P
Решение:
P = a + b + c
P = 4,5 + 6 + 3,5
P = 14 см
Ответ: 14 см

Обратная задача встречается чаще, чем кажется. Периметр треугольника 24 см, две стороны равны 7 см и 9 см. Найди третью сторону.

P = a + b + c
24 = 7 + 9 + c
24 = 16 + c
c = 24 − 16 = 8 см
Ответ: 8 см

Алгоритм простой: запиши формулу, подставь числа, посчитай, проверь единицы и только потом пиши ответ. Проверка занимает пять секунд: сложи стороны ещё раз — должно получиться то же число.

Равнобедренный и равносторонний: короткие формулы

Равнобедренный треугольник — любимец составителей контрольных. Здесь важно не перепутать, какая сторона дана: боковая или основание. Если известны боковая сторона a и основание b, периметр считают по формуле P = 2a + b.

a = 6 см, b = 8 см
P = 2 · 6 + 8
P = 12 + 8 = 20 см

Равносторонний треугольник решается в одну строку: P = 3a. Например, сторона 7 см даёт периметр 21 см. Бывает и обратная задача: периметр равностороннего треугольника 36 см — значит, сторона равна 36 : 3 = 12 см.

Полезно помнить свойство: у равнобедренного треугольника углы при основании равны. Это помогает в задачах, где дан угол, но не дана сторона. А если сказано «периметр равнобедренного треугольника 32 см, основание 12 см», сначала найди боковую сторону: 32 − 12 = 20, затем 20 : 2 = 10 см.

А вот искать периметр по углам нельзя: углы помогают определить вид треугольника, но длину сторон не задают. Ещё одна тонкость: в равнобедренном треугольнике равные стороны — это всегда боковые, а не «какие получится».

Типичные ошибки в контрольной работе

Первая ошибка — сложить не все стороны. Внимательно пересчитай: у треугольника их ровно три, и каждая должна попасть в сумму.

Вторая — перепутать единицы измерения. Если одна сторона дана в сантиметрах, а другая в миллиметрах, сначала переведи всё в одну единицу, иначе периметр получится бессмысленным.

Третья — забыть, что у равнобедренного треугольника равных сторон две. Ученик прибавляет боковую сторону один раз, основание один раз — и теряет целую сторону.

Четвёртая — посчитать вместо периметра площадь или наоборот. Пятая, самая обидная: потерять ответ. Решение есть, а строчки «Ответ: 20 см» нет — балл снижают.

Чтобы ошибки не повторились на контрольной, прогони похожие задания заранее — короткие тренировки доступны в личном кабинете в любое время.

Что запомнить

Итог короткий. Треугольники различают по сторонам (разносторонний, равнобедренный, равносторонний) и по углам (остроугольный, прямоугольный, тупоугольный). Сумма углов всегда равна 180°.

Периметр — сумма длин всех сторон: P = a + b + c. Для равнобедренного P = 2a + b, для равностороннего P = 3a. Ответ записывают в см, мм или м, но не в см².

Стороны 5 см, 5 см, 8 см → равнобедренный, P = 2 · 5 + 8 = 18 см
Стороны 6 см, 6 см, 6 см → равносторонний, P = 3 · 6 = 18 см

Перед контрольной прогони алгоритм: прочитал условие → записал формулу → подставил числа → посчитал → проверил единицы → написал ответ. Отдельно потренируй обратные задачи, где сторону находят по периметру: именно они чаще всего ломают решение.

Следующий шаг: зарегистрируйся в личном кабинете и реши 5 заданий бесплатно — короткая тренировка покажет, где ты ещё спотыкаешься.