Делимость чисел: делители и кратные: задачи с решениями и ответами

Делимость чисел: с чего начать

Если в задаче встречаются слова «делитель», «кратное» или «делится без остатка», легко растеряться. Разберём тему по шагам: научимся проверять делимость, находить делители и кратные, а затем решать типовые задачи без угадывания.

Число a делится на число b, если существует такое целое число c, что a = b · c. Тогда a называют кратным b, а b — делителем a. Например, 24 делится на 6, потому что 24 = 6 · 4. Значит, 24 — кратное 6, а 6 — делитель 24.

24 ÷ 6 = 4
24 = 6 · 4
Делители 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
Кратные 6: 6, 12, 18, 24, 30, …

У каждого натурального числа есть делители 1 и само число. Делитель не может быть больше числа, а ряд кратных продолжается бесконечно. Ошибка: путать эти понятия и считать, что 6 — кратное 24. Быстрая проверка: если число получается умножением на целое число, оно кратное.

Для дополнительной тренировки можно повторить базовые понятия в материале по математике за 5 класс: навык аккуратного чтения условия пригодится и здесь.

Признаки делимости

Признаки делимости помогают отвечать быстрее, не выполняя деление столбиком. На 2 делятся числа с чётной последней цифрой: 0, 2, 4, 6 или 8. На 5 — числа, которые заканчиваются на 0 или 5. На 10 — только числа с последним нулём.

На 3 и 9 число делится тогда, когда на 3 или 9 делится сумма его цифр. Например, 738 делится на 3, поскольку 7 + 3 + 8 = 18, а 18 делится на 3 и 9. На 4 проверяют последние две цифры: 316 делится на 4, потому что 16 делится на 4.

582: 5 + 8 + 2 = 15 → делится на 3
582: 15 ≠ число, кратное 9 → не делится на 9
740: последняя цифра 0 → делится на 2, 5 и 10
124: последние две цифры 24 → делится на 4

Типичная ошибка — применять признак 3 к последним цифрам или считать, что делимость на 9 означает делимость на 9 без проверки суммы. Закрепить алгоритм можно в бесплатной практике в личном кабинете, решая задания по одному признаку.

Как находить делители и кратные

Чтобы найти все делители числа, удобно составлять пары множителей. Для 36 это 1 и 36, 2 и 18, 3 и 12, 4 и 9, 6 и 6. Записываем каждое число из пар один раз. Так получаем полный список и не пропускаем варианты.

Кратные находят умножением исходного числа на 1, 2, 3 и так далее. Например, первые пять кратных 7 — это 7, 14, 21, 28 и 35. В задачах со словами «наименьшее общее кратное» ищут первое число, которое встречается в рядах кратных обоих чисел.

Кратные 4: 4, 8, 12, 16, 20, …
Кратные 6: 6, 12, 18, 24, …
НОК(4; 6) = 12

Ошибка — включать в список делителей дроби или числа больше исходного. Для кратных, наоборот, ряд не заканчивается. Перед ответом проверь: каждый найденный делитель должен делить число без остатка.

Если хочется видеть ход решения и сразу проверять себя, используй личный кабинет с бесплатными заданиями.

Задачи на делимость с решениями

Задача. Найди все цифры x, при которых число 47x делится на 3. Используем признак: сумма цифр должна делиться на 3. Получаем 4 + 7 + x = 11 + x. Среди цифр от 0 до 9 подходят те, для которых сумма кратна 3.

11 + x → 12, 15, 18
x = 1, 4, 7
Ответ: 471, 474 и 477

Проверим: 4 + 7 + 1 = 12, 4 + 7 + 4 = 15, 4 + 7 + 7 = 18. Все суммы делятся на 3, значит, подходят. Полезно выписывать именно цифры, а не сразу числа: неизвестная стоит в разряде единиц.

Задача. Какое наименьшее число нужно прибавить к 58, чтобы получить число, кратное 5? Ближайшее следующее число, оканчивающееся на 0 или 5, — 60. Значит, 60 − 58 = 2.

58 + 2 = 60
60 ÷ 5 = 12
Ответ: 2

Типичная ошибка — назвать 5, ориентируясь только на делитель, а не на остаток. В задачах на цифру обязательно учитывай диапазон: цифра может быть только от 0 до 9.

Типичные ошибки и проверка ответа

Первая ошибка — смешивать «делится на» и «делится без остатка». Запись 17 ÷ 5 = 3,4 не означает, что 17 делится на 5 в школьном смысле делимости натуральных чисел. Вторая ошибка — забывать число 1 среди делителей. Третья — считать ноль кратным любого числа, хотя в школьных списках обычно начинают с первого положительного кратного.

Решая задачу, подчеркни ключевое слово: «делитель», «кратное», «признак», «наименьшее». Затем выбери действие и выполни обратную проверку умножением или делением.

42 делится на 2: последняя цифра 2
42 делится на 3: 4 + 2 = 6
42 делится на 6: да

Ошибка в таком примере — проверить только чётность. Для делимости на 6 нужны оба условия. Решить похожие упражнения можно через бесплатную практику после регистрации, а затем сверить объяснение каждого ответа.

Что запомнить

Делитель умножается на целое число и даёт исходное число, а кратное получается умножением исходного числа на 1, 2, 3 и дальше. Делители перечисляют парами множителей; кратные образуют бесконечный ряд.

Главные признаки: на 2 — последняя цифра чётная, на 5 — 0 или 5, на 10 — 0, на 3 и 9 — соответствующая сумма цифр, на 4 — последние две цифры делятся на 4. Для 6 одновременно нужны признаки 2 и 3.

36 = 4 · 9 → 4 и 9 — делители 36
36 = 6 · 6 → 36 — кратное 6
735: 7 + 3 + 5 = 15 → делится на 3 и 5

Типичная ошибка — отвечать по внешнему виду числа, не выполняя проверку. Сначала назови правило, затем покажи вычисление и только после этого запиши ответ. Следующий шаг: зарегистрируйся и реши 5 заданий бесплатно в личном кабинете.

Если тема кажется смешанной, повтори её небольшими порциями: сначала признаки, затем списки делителей, потом задачи с неизвестной цифрой. Так правило превращается в устойчивый навык.