Признаки делимости на 2, 3, 5, 9, 10

Зачем нужны признаки делимости

Знакомая ситуация: нужно быстро понять, делится ли 738 на 3, а калькулятора под рукой нет. Или ты решаешь уравнение и хочешь сократить дробь 735/945 без деления столбиком. Вот тут и выручают признаки делимости: короткие правила, которые по виду числа говорят, разделится оно на 2, 3, 5, 9 или 10 без остатка. Освоив их, ты экономишь время на контрольной и реже ошибаешься в счёте.

Признак делимости — это способ проверить делимость, не выполняя само деление. Важно понимать разницу: «делится» означает, что остаток равен нулю. Число 12 делится на 2, потому что 12 ÷ 2 = 6. Число 13 не делится на 2, потому что 13 ÷ 2 = 6 и остаток 1.

Дальше разберём каждый признак по шагам, с примерами и типичными ошибками. Если захочешь сразу проверить себя на коротких заданиях, открой личный кабинет — там есть бесплатная практика по этой теме.

Признак делимости на 2

Число делится на 2, если его последняя цифра чётная: 0, 2, 4, 6 или 8. Цифры 1, 3, 5, 7, 9 дают неделимое число. Например, 468 делится на 2, потому что оканчивается на 8, а 467 не делится: последняя цифра 7.

Почему правило работает? Любое число можно разбить на десятки и последнюю цифру: 468 = 46 · 10 + 8. Произведение 46 · 10 всегда делится на 2, ведь 10 кратно 2. Значит, делимость определяется только последней цифрой, а остальные цифры проверять не нужно.

Полезно помнить: числа, которые делятся на 2, называют чётными, остальные — нечётными. Правило одинаково работает и для больших чисел: 1 234 567 890 чётное, а 12 345 677 — нет.

Типичная ошибка: искать чётную цифру где угодно в записи числа. В числе 312 последняя цифра 2, значит оно делится на 2. В числе 123 двойка тоже есть, но последняя цифра 3 — число на 2 не делится.

Признаки делимости на 5 и на 10

Число делится на 5, если его последняя цифра — 0 или 5. Например, 175 делится на 5 (последняя цифра 5), 170 делится (0), а 573 не делится (3).

Число делится на 10, если оно оканчивается нулём. Это более строгое условие: 170 делится на 10, а 175 — нет, хотя на 5 оно делится прекрасно.

Сравни правила, чтобы не путать: на 10 делятся только числа с нулём на конце, на 5 — с нулём или пятёркой. Поэтому любое число, кратное 10, автоматически кратно 5, но обратное неверно: 25 делится на 5, но не на 10.

Ошибка: думать, что для делимости на 5 достаточно, чтобы пятёрка просто встречалась в записи. Число 5 001 003 не делится на 5: его последняя цифра 3, а не 0 и не 5.

Признак делимости на 3

Число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3. Проверим 738: 7 + 3 + 8 = 18, а 18 делится на 3, значит и 738 делится на 3 без остатка.

Разберём полностью:

738 → 7 + 3 + 8 = 18
18 → 1 + 8 = 9
9 ÷ 3 = 3, остаток 0 → сумма цифр кратна 3
738 ÷ 3 = 246, остаток 0
Проверка: 246 · 3 = 738

Если сумма цифр получилась большой, складывай её ещё раз: делимость на 3 от этого не изменится. Например, 9 999: 9 + 9 + 9 + 9 = 36, а 36 делится на 3 (36 = 3 · 12), значит 9 999 делится на 3. Посмотреть, как такие вычисления встречаются в проверочных работах, можно в разборе ВПР по математике за 8 класс.

Типичная ошибка — проверять только последнюю цифру, как в признаке на 2. Число 124 не делится на 3: сумма цифр 1 + 2 + 4 = 7, а 7 на 3 не делится, хотя последняя цифра чётная.

Признак делимости на 9

Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9. Пример: 5 634 → 5 + 6 + 3 + 4 = 18, а 18 ÷ 9 = 2, значит 5 634 делится на 9.

Отличие от признака на 3 только в числе, на которое делится сумма цифр. Поэтому всё, что делится на 9, делится и на 3. А вот 12 делится на 3, но не делится на 9 — это самая частая путаница в теме.

Ещё одна ошибка — складывать не цифры, а куски числа. В записи 405 сумма цифр равна 4 + 0 + 5 = 9, поэтому 405 делится и на 3, и на 9. А вот «40 + 5 = 45» — уже другое действие, и к признаку делимости оно отношения не имеет.

Что запомнить

Соберём всё в короткую шпаргалку. На 2 делится число с чётной последней цифрой (0, 2, 4, 6, 8). На 5 — с последней цифрой 0 или 5. На 10 — только с нулём в конце записи.

На 3 число делится, если сумма цифр кратна 3, а на 9 — если сумма цифр кратна 9. Последняя цифра для этих двух признаков вообще не важна: это главное отличие от признаков на 2, 5 и 10.

Проверяй себя по порядку: сначала смотри на последнюю цифру, потом считай сумму цифр. Так ты за пару секунд скажешь, делится ли число, и не потратишь время на деление столбиком.

Следующий шаг — практика. Зарегистрируйся в личном кабинете и реши 5 заданий бесплатно: короткие проверки делимости, разбор ошибок и понятные объяснения. А если хочется увидеть, как эти знания работают в больших задачах, загляни в разбор текстовых задач ЕГЭ — делимость там тоже пригодится.