Математика 10 класс: текстовые задачи ЕГЭ

Как понять текстовую задачу и не потеряться в условии

Текстовые задачи часто кажутся длинными и запутанными, но обычно в них нужно найти всего одну связь между величинами. Разберём понятный алгоритм: как выделить данные, выбрать неизвестное и составить уравнение.

Сначала прочитай условие целиком и определи, о чём задача: о движении, работе, процентах, покупках или смеси. Затем выпиши известные величины с единицами измерения. Не спеши считать в уме: запись помогает увидеть структуру.

Удобный план решения:

1. Обозначить неизвестную величину буквой x.
2. Выразить через x остальные величины.
3. Составить уравнение по смыслу задачи.
4. Решить его и проверить ответ.
5. Записать ответ с единицей измерения.

Пример: у Маши было на 20 рублей больше, чем у Оли. Вместе у них 140 рублей.
Пусть у Оли x рублей.
У Маши x + 20 рублей.
\( x + (x + 20) = 140 \)
\( 2x = 120 \)
\( x = 60 \)
У Оли 60 рублей, у Маши 80 рублей.

Если хочется сразу потренироваться на похожих примерах, задания доступны в бесплатном личном кабинете «Просто Урок».

Как решать задачи на движение

В задачах на движение используют главную формулу: расстояние равно скорости, умноженной на время. Важно, чтобы все величины были в согласованных единицах: например, километры и часы или метры и секунды.

\( S = v \times t \)
\( v = S \div t \)
\( t = S \div v \)

Если два объекта движутся навстречу, их скорости складываются. Если один догоняет другой, из большей скорости вычитают меньшую. При движении по течению скорость лодки увеличивается на скорость течения, а против течения уменьшается.

Пример: два велосипедиста выехали навстречу друг другу из пунктов, расстояние между которыми 54 км. Их скорости 12 км/ч и 15 км/ч. Через сколько часов они встретятся?
Скорость сближения: 12 + 15 = 27 км/ч.
\( t = 54 \div 27 = 2 \text{ч}. \)
Ответ: велосипедисты встретятся через 2 часа.

Проверка простая: за 2 часа первый проедет 24 км, второй — 30 км. Вместе это 54 км. Значит, уравнение отражает условие.

Как составлять уравнения по работе и производительности

В задачах на работу главное понятие — производительность. Она показывает, какую часть всей работы выполняют за единицу времени. Если рабочий заканчивает заказ за 6 часов, его производительность равна 1/6 работы в час.

Работа = производительность × время
Производительность = работа ÷ время

Всю работу удобно считать равной 1. Тогда совместная работа двух исполнителей складывается из их производительностей. Если один выполняет заказ за x часов, его производительность равна 1/x.

Пример: первый мастер выполняет заказ за 6 часов, второй — за 3 часа. За сколько часов они выполнят заказ вместе?
Производительность первого: 16.
Производительность второго: 13.
Общая производительность: 16 + 13 = 16 + 26 = 12.
Время: 1 ÷ 12 = 2 ч.
Ответ: 2 часа.

Не складывай времена напрямую: совместная работа ускоряет процесс. Полезно проверить ответ: за 2 часа первый мастер выполнит 2/6 работы, второй — 2/3. Вместе получится 1.

Закрепить этот тип задач можно короткой практикой в личном кабинете «Просто Урок», где удобно возвращаться к ошибкам.

Как находить проценты, скидки и изменения величин

Процент означает одну сотую часть величины. Чтобы найти p процентов от числа a, умножь число на p и раздели на 100. После этого важно понять, о какой величине говорится: о первоначальной, новой или разнице.

p% от a = a × p ÷ 100
Новая цена после скидки p%: a × (1 − p ÷ 100)
Новая цена после повышения p%: a × (1 + p ÷ 100)

Пример: куртка стоила 5000 рублей. Сначала цену снизили на 20%. Сколько она стала стоить?
Скидка: 5000 × 20 ÷ 100 = 1000 рублей.
Новая цена: 5000 − 1000 = 4000 рублей.
Ответ: 4000 рублей.

Если цену потом повысили на 20%, она не обязательно вернётся к 5000 рублей. Повышение считается уже от 4000: 4000 × 1,2 = 4800 рублей. Поэтому последовательные изменения нельзя просто «сократить».

Ситуация	Множитель
Уменьшение на 15%	0,85
Увеличение на 15%	1,15

В решении всегда подписывай, от какой суммы считаешь процент.

Как проверять решение и избегать типичных ошибок

Даже правильно составленное уравнение можно испортить вычислением или неверным ответом. После решения верни найденное значение в условие. Проверь единицы, знак и примерный размер результата.

Частые ошибки:

• перепутаны километры и метры или часы и минуты;
• при встречном движении скорости вычтены вместо сложения;
• время работы сложено вместо производительностей;
• процент найден от неправильной величины;
• дан ответ на промежуточный вопрос, а не на главный;
• отрицательный или слишком большой результат не проверен по смыслу.

Проверка задачи на движение:
расстояние первого + расстояние второго = общее расстояние.
Проверка процентов:
новая величина ÷ старая величина × 100% показывает, какая доля сохранилась.

Тренажёр в бесплатном кабинете «Просто Урок» поможет увидеть, на каком именно шаге появляется ошибка.

Что запомнить и что сделать дальше

Текстовая задача становится понятнее, если переводить её с обычного языка на язык величин и связей. Сначала выбери неизвестное, затем вырази остальные данные через него и только после этого составляй уравнение.

Для движения используй связь S = v × t. Для работы считай производительность и складывай её при совместном выполнении. В задачах на проценты внимательно определяй, от какой величины считается изменение.

Перед ответом проверь три вещи: единицы измерения, соответствие результата условию и арифметику. Если задача не решается сразу, составь таблицу «величина — значение» или сделай схему. Это не лишняя запись, а способ увидеть логику.

К концу темы нужно уметь:

• выделять известные и неизвестные величины;
• составлять уравнения по тексту;
• решать задачи на движение и работу;
• находить проценты и последовательные изменения;
• проверять ответ по смыслу.

Следующий шаг: зарегистрируйся в личном кабинете «Просто Урок» и бесплатно реши 5 заданий по теме, разбирая каждую ошибку по шагам.