Прямая и обратная пропорциональность: контрольная работа с ответами

Прямая пропорциональность: две величины растут вместе

Контрольная по пропорциональности уже на носу, а задачи про рабочих, трубы и килограммы всё равно путаются? Так бывает у многих: тема кажется простой, а ловушка прячется в одном слове «обратно». Ниже — короткая теория, полностью разобранный пример, таблица-шпаргалка и вопросы с ответами. Прочитай за 15 минут — и приходи на контрольную спокойно.

Прямая пропорциональность — это связь двух величин, при которой во сколько раз увеличивается одна, во столько же раз увеличивается другая.

y = k · x, где k — коэффициент пропорциональности, k ≠ 0
y ÷ x = k — отношение всегда одинаковое

Пример: 1 кг яблок стоит 180 руб. Тогда 2 кг — 360 руб, а 5 кг — 900 руб. Каждый раз делим стоимость на массу и получаем одно и то же число 180. Значит, стоимость и масса — прямо пропорциональные величины.

Типичная ошибка: записывать в прямую пропорциональность всё, где «больше — значит больше». Сторону квадрата увеличили в 2 раза — площадь выросла в 4 раза. Это уже не пропорциональность, а квадратичная зависимость.

Обратная пропорциональность: одна растёт, вторая падает

Обратная пропорциональность — это связь, при которой во сколько раз увеличивается одна величина, во столько же раз уменьшается другая.

y = k ÷ x, где k — постоянное число, k ≠ 0
x · y = k — произведение всегда одинаковое

Классический пример: 6 маляров красят школу за 10 дней. Если маляров станет 12, каждый сделает вдвое меньше работы, и школа будет готова за 5 дней. А 3 маляра справятся только за 20 дней. Проверим произведением: 6 · 10 = 60, 12 · 5 = 60, 3 · 20 = 60. Число 60 — это k, общий объём работы.

Ещё пример: скорость и время на одном и том же пути. Чем быстрее едешь, тем меньше времени занимает дорога. Заметь: k не обязано быть целым — если 4 насоса откачивают воду за 2⅓ часа, произведение равно 9⅓, и это нормально.

Типичная ошибка — думать, что при удвоении числа рабочих время уменьшится «на два дня», а не «в два раза». Здесь работают умножение и деление, а не вычитание.

Три шага и полностью разобранный пример

Шаг 1. Назови величины и определи направление связи: обе растут — прямая, одна растёт и вторая падает — обратная.

Шаг 2. Составь пропорцию. Для прямой: x₁ ÷ x₂ = y₁ ÷ y₂. Для обратной дроби переворачиваются: x₁ ÷ x₂ = y₂ ÷ y₁.

Шаг 3. Найди неизвестное умножением «крест-накрест» и проверь ответ по смыслу условия.

Разберём задачу целиком. 8 машин вывозят груз за 6 дней. За сколько дней тот же груз вывезут 12 таких машин?

8 машин → 6 дней
12 машин → x дней
Машин больше → дней меньше → обратная пропорциональность
8 ÷ 12 = x ÷ 6
12 · x = 8 · 6
x = 48 ÷ 12 = 4
Ответ: 4 дня

Проверка: 8 · 6 = 48 и 12 · 4 = 48. Произведение совпало — решение верное. Такая проверка занимает пять секунд, а ошибок ловит больше всего.

Таблица-шпаргалка и графики

Сравнивать прямую и обратную пропорциональность удобно таблицей.

Пример на закрепление: поезд идёт 3 часа со скоростью 60 км/ч. Сколько времени займёт тот же путь при 90 км/ч? Путь равен 180 км, значит, время равно 180 ÷ 90 = 2 часа. Скорость выросла в 1,5 раза, время уменьшилось во столько же.

Типичная ошибка: строить график обратной пропорциональности по трём точкам и соединять их ломаной. Ветви гиперболы плавные, а возле осей они уходят в бесконечность.

Типичные ошибки на контрольной

Чаще всего баллы теряют на четырёх вещах.

Первое: не определяют тип зависимости, а сразу пишут пропорцию «как в прошлой задаче».

Второе: путают порядок чисел. В примере с машинами неверный вариант даёт x = 6 · 12 ÷ 8 = 9 дней. Проверка произведением сразу показывает: 8 · 6 = 48, а 12 · 9 = 108 — числа разные.

Третье: вместо умножения складывают или вычитают: «6 + 3 = 9 дней».

Четвёртое: считают обратной пропорциональностью прямую связь. Цена и количество конфет — прямая зависимость: больше конфет — больше денег.

Хочешь разобрать задачи посложнее, где величин не две, а три? Загляни в разбор текстовых задач для 8 класса — там та же логика, только условий больше.

Что запомнить

Итог короткий. Прямая пропорциональность: y ÷ x = k, величины растут вместе, график — прямая через начало координат. Обратная: x · y = k, одна растёт, другая падает, график — гипербола.

Прямая: y ÷ x = k
Обратная: x · y = k
Проверка → подставить k и сравнить

Алгоритм на контрольной: определить тип связи → записать пропорцию с правильным порядком → найти неизвестное → проверить постоянным числом.

В 6 классе пропорции — отдельная тема, а дальше они растворятся в физике, химии, геометрии и задачах экзамена. Один раз разобравшись, ты будешь узнавать знакомую схему в задачах про проценты, концентрации и скорость.

Следующий шаг: зарегистрируйся и реши 5 заданий бесплатно — это быстрее, чем читать ещё десять объяснений. Личный кабинет открывает доступ к разбору ошибок и подсказкам.

А когда в 8 классе дойдёшь до квадратных уравнений, пригодится подробный разбор дискриминанта и корней: пропорции там работают как рабочий инструмент.