Разложение числа на простые множители: контрольная работа с ответами

Что такое разложение на простые множители

Контрольная по разложению числа на простые множители кажется лёгкой ровно до первого самостоятельного варианта: то множитель потеряется, то после деления на 3 ты случайно шагнёшь не туда, то в ответе появится число, которое простым вовсе не является. Знакомо? Хорошая новость: тема держится на одном коротком алгоритме и нескольких полезных привычках, которые реально натренировать за пару вечеров.

Разложение на простые множители — это запись составного числа в виде произведения простых чисел. Простое число делится без остатка только на 1 и на само себя: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31. Составное — любое другое, например 4, 6, 9, 15, 36, 100. Единица простым числом не считается, поэтому в разложении её никогда не пишут.

Зачем это нужно на практике? Разложение помогает сокращать дроби, находить НОД и НОК, сравнивать числа, работать со степенями, а позже — с алгебраическими дробями и уравнениями. Дальше: понятный алгоритм, полностью разобранный пример, список типичных ошибок, таблица с ответами и контрольная работа, которую можно решить прямо сейчас.

Как раскладывать число: алгоритм из четырёх шагов

Шаг 1. Проверь, не простое ли перед тобой число: если оно делится только на 1 и на себя, разложение уже готово. Шаг 2. Вспомни признаки делимости: на 2 — последняя цифра чётная, на 5 — последняя цифра 0 или 5, на 3 и 9 — сумма цифр делится на 3 или на 9. Шаг 3. Раздели число на самое маленькое простое, на которое оно делится. Шаг 4. Повторяй то же с частным, пока не получишь 1.

Делители перебирай строго по возрастанию: сначала 2, потом 3, 5, 7, 11, 13. Так ты никогда не пропустишь множитель и не разделишь на составное число — а именно это чаще всего ломает всю цепочку и приводит к неверному ответу.

360 = 2 · 180
180 = 2 · 90
90 = 2 · 45
45 = 3 · 15
15 = 3 · 5
5 = 5 · 1
360 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 = 2³ · 3² · 5

Проверка: 2³ = 8, 3² = 9, значит 8 · 9 · 5 = 72 · 5 = 360 — всё сходится. Проверку перемножением делай всегда: она занимает пять секунд, а ошибку находит мгновенно, пока ты ещё помнишь ход решения.

Два способа записи: столбик и дерево множителей

Записывать разложение удобно двумя способами. Первый — «столбик»: слева пишешь числа, которые делишь, справа через вертикальную черту — простые делители. Второй — «дерево»: число разветвляется на пары множителей, пока внизу не останутся одни простые числа. Оба способа дают ровно один и тот же результат, потому что ответ у разложения единственный.

84 | 2
42 | 2
21 | 3
7 | 7
1 |
84 = 2² · 3 · 7

Деревом та же восьмёрка с четвёркой выглядит так: 84 → 2 и 42; 42 → 2 и 21; 21 → 3 и 7. Собираем все «кончики» веток: 2 · 2 · 3 · 7 = 2² · 3 · 7. Результат совпал со столбиком — так и должно быть. Порядок множителей в ответе роли не играет, но принято записывать их по возрастанию, а одинаковые сворачивать в степень.

Влияет ли способ на оценку? На ответ — нет, на аккуратность — да. В столбике видно каждый шаг, поэтому на контрольной выбирай его. А если хочешь увидеть, как части целого выглядят наглядно, загляни в статью про круговые диаграммы — там доли и части числа показаны картинкой.

Типичные ошибки шестиклассников

Первая и самая частая ошибка — деление на составное число: 36 делят на 4 или на 6, получают 9 или 6 и продолжают цепочку. Формально произведение верное, но задание не выполнено: в разложении остались числа, которые простыми не являются. Делить можно только на простые.

Вторая ошибка — преждевременная остановка. Ученик пишет 45 = 5 · 9 и ставит точку, хотя 9 = 3 · 3. Третья — потерянный множитель: из шести чисел в столбике в ответ попадают пять. Четвёртая — единица в разложении: её там быть не должно, единица не простое число.

Пятая ошибка — отсутствие проверки. Перемножь все множители ответа: если получилось исходное число, разложение верное. Кстати, этот же навык пригодится в 7 классе при сокращении дробно-рациональных выражений и решении уравнений, где без разложения на множители просто не обойтись.

Контрольная работа с ответами

Попробуй решить вариант честно, без подсказок, а потом сверься с таблицей. Если хочешь тренироваться с автоматической проверкой шагов и подсказками по ходу решения, открой личный кабинет — там задания разложены по уровням сложности.

Задание 1. Разложите на простые множители числа 72, 100 и 96. Задание 2. Разложите число 210 и запишите ответ в виде произведения степеней. Задание 3. Разложите число 91. Задание 4. Найдите ошибку: 120 = 2 · 2 · 3 · 10. Задание 5. Разложите число 225 и объясните, почему в ответе нет множителя 5 в первой степени.

Проверь себя перемножением: 2³ · 3² = 8 · 9 = 72, а 3² · 5² = 9 · 25 = 225. Если хотя бы одно произведение не совпало с исходным числом, вернись к шагу с делителями и найди пропущенный множитель.

Что запомнить

Разложение на простые множители — это запись составного числа через произведение простых. Делить можно только на простые числа, начиная с 2 и двигаясь по возрастанию. Заканчивай работу, когда в частном получилась 1, и не забудь перемножить множители для проверки.

Одинаковые множители сворачивай в степень: 2 · 2 · 2 = 2³. Единицу в разложение не пиши. Результат всегда единственный, поэтому разные способы записи — столбик и дерево — дают одинаковый ответ, а расхождение означает ошибку в вычислениях.

Следующий шаг — практика. Зарегистрируйся в личном кабинете и реши 5 заданий бесплатно: короткая тренировка сразу после разбора закрепляет алгоритм лучше, чем перечитывание теории. Дальше тебе будут легко даваться сокращение дробей, НОД, НОК и действия со степенями.