Умножение и деление рациональных чисел: задачи с решениями и ответами

Умножение и деление рациональных чисел: как перестать терять знаки

Знакомая ситуация: правило «минус на минус даёт плюс» ты помнишь наизусть, а в самостоятельной работе из-за одной потерянной чёрточки весь ответ уходит в минус. Обидно, ведь сама арифметика была верной. В этой статье мы по шагам разберём умножение и деление рациональных чисел, решим задачи с полным оформлением и разберём ошибки, которые встречаются чаще всего.

Рациональное число — это любое число, которое можно записать дробью m/n, где n ≠ 0. Сюда попадают целые числа, обыкновенные и десятичные дроби, смешанные числа и ноль. Умножать и делить такие числа часто проще, чем складывать: приводить к общему знаменателю не нужно, значит, меньше промежуточных действий и меньше поводов ошибиться.

Главная идея всей темы — разделить работу на два независимых шага. Сначала считаем модули, то есть сами числа без знаков, и получаем обычную арифметику. Потом отдельно определяем знак результата. Если не смешивать эти шаги, точность заметно вырастает.

Хочешь проверить себя прямо сейчас — загляни в личный кабинет «Просто Урок»: там тренажёр на знаки и дроби, первые попытки бесплатны.

Правило знаков: сначала модуль, потом минус

Для умножения и деления правило знаков одинаковое и очень короткое. Если знаки совпадают, результат положительный. Если знаки разные, результат отрицательный. Всё остальное — обычная арифметика, которую ты уже умеешь делать с положительными числами.

Проверим на числах: −4 · (−3) = 12, два минуса «гасят» друг друга. −4 · 3 = −12, знаки разные, поэтому минус остаётся. Так же и с делением: −12 : (−4) = 3, а 12 : (−4) = −3. Обрати внимание: 12 : (−4) и −12 : 4 дают один ответ — удобный способ проверить себя.

Когда множителей больше двух, считай минусы парами. В произведении −2 · (−3) · (−5) минусов три, одна пара «сгорает», остаётся один — ответ −30. Чётное число минусов даёт плюс, нечётное — минус.

Отдельно запомни ноль: 0 · (−7) = 0, и знак тут ни при чём. А вот делить на ноль нельзя никогда: выражение 5 : 0 не имеет значения.

Обыкновенные дроби: умножай «по прямой», дели через переворот

С дробями всё прямолинейно: при умножении числитель умножаем на числитель, знаменатель на знаменатель. При делении первую дробь оставляем, вторую переворачиваем и заменяем деление умножением. Знак определяем по правилу из предыдущего раздела.

Пример. Вычисли −2⅓ · (−3/7)
Переводим смешанное число в неправильную дробь: −2⅓ = −7/3
−7/3 · (−3/7) = (7 · 3)/(3 · 7) = 21/21 = 1
Знаки одинаковые → результат положительный.
Ответ: 1.

Перед умножением полезно сокращать. В примере выше тройки и семёрки сокращаются сразу, и считать почти нечего. Сокращение до умножения экономит время и уменьшает числа, с которыми ты работаешь дальше.

Ещё одна привычка, которая спасает: всегда записывай отрицательную дробь со знаком перед чертой, а не в числителе. Тогда при переписывании ты не потеряешь минус и не запутаешься в оформлении.

Десятичные дроби и смешанные числа: короткий путь

С десятичными дробями правило знаков работает без изменений, а техника — как с натуральными числами: умножаем, не глядя на запятые, потом отделяем столько знаков после запятой, сколько их было в двух множителях вместе. Например, 1,4 · 3,5: 14 · 35 = 490, знаков после запятой два → 4,90, то есть 4,9.

При делении на десятичную дробь удобно убрать запятую в делителе: умножь и делимое, и делитель на 10, 100 или 1000. Тогда −4,5 : 0,9 превращается в −45 : 9 = −5.

Со смешанными числами есть выбор. Можно перевести их в неправильные дроби — надёжно и без сюрпризов. А можно, если знаменатели одинаковые, умножить целую и дробную части отдельно. Первый способ универсален, второй быстрее, но требует внимательности.

Чтобы довести навык до автоматизма, реши 10–15 примеров подряд в тренажёре личного кабинета: проверка идёт сразу, и ошибку видно в момент, когда она возникла.

Задачи с решениями: где это нужно на практике

Умножение рациональных чисел описывает всё, что меняется с постоянной скоростью: температуру, глубину, долг, запас топлива. Отрицательный множитель означает «в обратную сторону» или «уменьшение» — именно поэтому так важно правильно поставить знак.

Задача 1. Температура каждый час понижалась на 1,4 °C. Какой стала температура через 3,5 часа?
−1,4 · 3,5 = −4,9
Ответ: изменение равно −4,9 °C, то есть температура понизилась на 4,9 °C.

Задача 2. Из бака вытекает 2¾ л воды в час. Сколько вытечет за 1⅓ часа?
2¾ · 1⅓ = 11/4 · 4/3 = 11/3 = 3⅔
Ответ: 3⅔ литра.

Задача 3. Общий долг 4,8 тыс. рублей разделили на 6 равных платежей. Чему равен один платёж?
−4,8 : 6 = −0,8
Ответ: −0,8 тыс. рублей, то есть 800 рублей к оплате.

В текстовых задачах сначала реши, что значит знак: плюс — рост, приход, прибыль; минус — снижение, расход, долг. Потом выбери действие и только затем считай. Похожие рассуждения нужны в задачах на уравнивание — разбор есть в статье «Задачи на уравнивание». А если готовишься к экзамену, посмотри разбор задания 23 ОГЭ: те же навыки там работают с графиками и формулами.

Что запомнить и что делать дальше

Соберём главное. Умножение и деление рациональных чисел выполняется в два шага: сначала модули, потом знак. Знаки одинаковые — плюс, разные — минус. Ноль в произведении всегда даёт ноль, а делить на ноль нельзя.

С дробями: умножаем «по прямой», делим через переворот второй дроби, смешанные числа переводим в неправильные. С десятичными: считаем без запятых, потом отделяем нужное число знаков; в делении сдвигаем запятую в обоих числах.

Проверь у себя типичные ошибки: потерянный минус при переписывании, забытое сокращение, лишний знак после запятой и попытка делить на ноль. Каждая из них лечится привычкой проверять знак отдельно от арифметики.

Следующий шаг — практика. Зарегистрируйся в личном кабинете «Просто Урок» и реши 5 заданий бесплатно: тренажёр покажет, где именно ты теряешь знак, и подберёт похожие примеры.