Умножение обыкновенных дробей: задачи с решениями и ответами

Умножение обыкновенных дробей: правило, которое работает

Знакомая ситуация: правило прочитано, примеры списаны, а на контрольной дроби почему-то не сходятся? Особенно обидно, что умножение — самое простое действие с дробями, а ошибки лезут из привычки складывать. Давай разберём умножение обыкновенных дробей по шагам, на задачах с решениями и ответами: после этого ты будешь решать такие примеры уверенно и быстро.

Главная идея проста: при умножении дробей мы отдельно перемножаем числители и отдельно знаменатели. Общий знаменатель искать не нужно — этот приём из сложения, здесь он только мешает. Формула выглядит так: a/b · c/d = (a · c)/(b · d).

3/5 · 2/7 = (3 · 2)/(5 · 7) = 6/35
4/9 · 3/8 = 12/72 = 1/6
7/10 · 5 = (7 · 5)/10 = 35/10 = 3,5

Типичная ошибка новичка — перемножить числители, а знаменатели сложить: 3/5 · 2/7 = 6/12. Так делать нельзя. Полезная самопроверка: если умножаешь число на дробь меньше единицы, результат становится меньше. В первом примере 3/5 · 2/7 — это часть от части, и ответ 6/35 меньше и 3/5, и 2/7.

Умножение дроби на целое и на смешанное число

Целое число — это тоже дробь со знаменателем 1: 5 = 5/1. Значит, отдельного правила не нужно: переводим число в дробь и умножаем как обычно. Смешанное число сначала превращаем в неправильную дробь: 2⅓ = 7/3, 1½ = 3/2. Так ты никогда не запутаешься, какое правило применять.

2⅓ · 1½ = 7/3 · 3/2 = 21/6 = 7/2 = 3½
4 · 5/8 = 4/1 · 5/8 = 20/8 = 5/2 = 2½
1⅔ · 6 = 5/3 · 6/1 = 30/3 = 10

Посмотри на третий пример: целое число удобно сократить со знаменателем. 5/3 · 6/1 — здесь 6 и 3 делятся на 3, получаем 5/1 · 2/1 = 10. Это экономит время и уменьшает риск ошибиться с большими числами. Записывай промежуточные сокращения прямо в строке — так виден ход решения.

Сокращай до умножения, а не после

Перемножить большие числа, а потом сокращать — путь длинный и опасный. Опытные ученики сокращают заранее: числитель одной дроби можно сократить со знаменателем другой (крест-накрест) или со знаменателем той же дроби. Значение дроби при этом не меняется.

3/8 · 4/9 = (3 · 4)/(8 · 9) = 12/72 = 1/6 — долго
3/8 · 4/9: 3 и 9 делим на 3, 4 и 8 делим на 4 → 1/2 · 1/3 = 1/6 — быстро

Почему так можно? Сокращение — это деление числителя и знаменателя на одно и то же число. Поэтому сокращать разрешено на любом этапе: до умножения, в процессе и в самом конце. Главное — не забыть привести ответ к несократимому виду и, если дробь неправильная, выделить целую часть.

Задачи на нахождение части от числа

Умножение дробей нужно не только в примерах. Формулировка «найти ¾ от 20» означает «умножить»: слово «от» в задачах почти всегда даёт действие умножения. Разберём два типичных сюжета.

Задача 1. В классе 28 учеников, 3/7 из них ходят в шахматный кружок.
28 · 3/7 = 28/1 · 3/7 = 84/7 = 12
Ответ: 12 учеников.

Задача 2. Длина ленты 2¼ м. Отрезали 2/3 ленты.
2¼ = 9/4; 9/4 · 2/3 = 18/12 = 3/2 = 1½ м
Ответ: отрезали 1½ метра.

Если тема уже даётся легко, посмотри, как похожие приёмы работают с десятичными дробями — там свои правила переноса запятой: действия с десятичными дробями. А чтобы набить руку на задачах разного уровня, открой личный кабинет: там задания проверяются сразу и с понятными пояснениями.

Три дроби и больше: свойства умножения

Когда множителей становится больше, выручают свойства умножения. Переместительное: a/b · c/d = c/d · a/b. Сочетательное: (a/b · c/d) · e/f = a/b · (c/d · e/f). Значит, порядок множителей не важен — можно объединять удобные пары и сокращать то, что хорошо делится.

1/2 · 3/4 · 8/9 = (1/2 · 8/9) · 3/4 = 4/9 · 3/4 = 12/36 = 1/3
2/5 · 3 · 5/6 = (2/5 · 5/6) · 3 = 1/3 · 3 = 1

Типичная ошибка здесь — потерять один множитель, если в целом числе не дописать знаменатель 1, или перепутать умножение со сложением в середине длинной цепочки. Следи за смыслом ответа: произведение дробей меньше единицы всегда даёт число меньше каждого множителя.

Что запомнить и какой следующий шаг

Соберём выжимку. При умножении дробей числитель умножаем на числитель, знаменатель на знаменатель. Смешанные числа переводим в неправильные дроби. Сокращаем до умножения, а ответ приводим к несократимому виду или выделяем целую часть. Слово «от» в задаче — сигнал умножить.

Дальше всё решает практика. Зарегистрируйся в личном кабинете и реши 5 заданий бесплатно: так ты сразу увидишь, какие шаги уже автоматические, а какие пока требуют подсказки. Короткие тренировки по 10 минут в день работают лучше, чем один длинный разбор раз в неделю.

Умножение дробей — база, которая будет встречаться и в алгебре, и в геометрии, и в старших классах. Например, при работе с формулами и функциями тебе пригодится умение аккуратно обращаться с выражениями — об этом в статье про исследование функций. А пока закрепи то, что уже разобрали: правило, сокращение, задачи.

Если что-то осталось непонятным, вернись к разделу с примерами и проговори каждый шаг вслух — это простой приём, который помогает заметить пропущенное действие.