Производная: исследование функций

Что даёт исследование через производную

Когда в ЕГЭ просят найти точку максимума или наименьшее значение, строить весь график не нужно — достаточно понять, где функция растёт, а где убывает. Это умеет производная: её геометрический смысл — в статье про касательную и тангенс угла.

f′(x) > 0 — функция растёт, f′(x) < 0 — функция убывает

Схема простая: производная положительна — график поднимается, отрицательна — опускается. Точки, где подъём сменяется спуском или наоборот, — вершины графика, они называются точками экстремума.

Максимум, минимум и точки экстремума

Точка максимума — внутренняя точка, где рост сменяется убыванием: производная меняет знак с «+» на «−». Точка минимума — наоборот, с «−» на «+».

максимум: знак f′ меняется «+» → «−», минимум: «−» → «+»

Важное уточнение: точка экстремума — это значение x, а экстремум (максимум или минимум) — значение функции в ней. «Найдите точку минимума» — в ответ идёт число x, «найдите минимум функции» — в ответ идёт y = f(x). Перепутать их — потерять балл.

Ещё нюанс: максимум — не обязательно самое большое значение на всём отрезке. Локальный максимум — вершина относительно соседних точек: слева функция растёт, справа убывает. «Горбов» на графике может быть несколько.

Точки экстремума на графике производной

На ЕГЭ часто дают график производной и просят найти точки экстремума. Правило: экстремум — это x, где производная равна нулю и меняет знак. Переход с «+» на «−» — точка максимума, с «−» на «+» — минимума. Касание оси без смены знака ничего не даёт.

Пусть график y = f′(x) пересекает ось в точках −1 и 2 — разберём по шагам.

1. Слева от −1 график выше оси: f′ > 0, функция растёт.
2. Между −1 и 2 график ниже оси: f′ < 0, функция убывает.
3. Справа от 2 снова выше оси: f′ > 0.
4. В точке −1 знак сменился с «+» на «−» — точка максимума, в точке 2 — с «−» на «+» — точка минимума. Итого две точки экстремума.

Итого: число точек экстремума равно числу смен знака производной — вопрос про количество решается подсчётом переходов через ось.

Пошаговый алгоритм с примером

Когда дана формула, работает универсальный алгоритм:

1. Найти производную f′(x).
2. Решить уравнение f′(x) = 0.
3. Отметить корни на числовой прямой.
4. Определить знак производной на каждом интервале.
5. Сделать вывод: смена «+» на «−» — максимум, с «−» на «+» — минимум.

Проведём исследование функции f(x) = x³ − 3x.

1. Производная: f′(x) = 3x² − 3.
2. Нули: 3x² − 3 = 0, значит x² = 1 и x = 1 или x = −1.
3. Отмечаем на прямой точки −1 и 1.
4. Знаки: слева от −1 подставим x = −2, получим f′ = 9 > 0; между −1 и 1 возьмём x = 0, получим f′ = −3 < 0; правее 1 при x = 2 снова f′ = 9 > 0.
5. Вывод: в точке −1 знак меняется с «+» на «−» — точка максимума, в точке 1 — с «−» на «+» — точка минимума. Значения: f(−1) = 2, f(1) = −2.

Расстановка знаков — тот же метод интервалов, что и в квадратных неравенствах: подставляй в производную по одной удобной точке из каждого промежутка.

Типичные ошибки

Ошибка 1 — перепутать точку и значение: спрашивают точку — в ответ идёт x, спрашивают минимум — в ответ идёт f(x).

Ошибка 2 — считать каждый ноль производной экстремумом. У f(x) = x³ производная 3x² равна нулю при x = 0, но знак не меняется — функция всё время растёт. Ноль производной — кандидат, решает смена знака.

Ошибка 3 — забыть концы отрезка: наибольшее и наименьшее значения ищут среди экстремумов внутри отрезка и на его границах. Граница может выиграть, хотя экстремумом не будет.

Ошибка 4 — арифметика в производной: правило (xⁿ)′ = n · xⁿ⁻¹, например (x⁴)′ = 4x³. Половина потерь здесь — минусы и потерянные множители, а не незнание теории.

Итог исследования — три вопроса: где функция растёт, где убывает и где меняет направление; на них отвечает алгоритм из пяти шагов. Актуальную структуру заданий ЕГЭ проверяйте в демоверсии на сайте ФИПИ. А чтобы уверенно читать экзаменационные рисунки, пройди статью про графики функций. И помни: рядом всегда есть Просто Урок.