Линейная функция: k и b в формуле y = kx + b: контрольная работа с ответами

Что такое y = kx + b и зачем нужны k и b

Контрольная по линейной функции в 7 классе пугает не формулой, а путаницей: что делает k, за что отвечает b и как быстро построить прямую. Хорошая новость — здесь всё решается за пару минут, если понимать смысл коэффициентов. Ниже — теория по шагам, полный разбор примера, типичные ошибки и ответы на вопросы контрольной.

Линейная функция — это зависимость вида y = kx + b, где x — независимая переменная, а k и b — числа. График линейной функции всегда прямая линия. Коэффициент k называют угловым: он задаёт наклон прямой. Коэффициент b показывает, в какой точке прямая пересекает ось Oy. Если k = 0, получается y = b — прямая, параллельная оси Ox.

y = kx + b
x = 0 → y = b, точка (0; b)
y = 0 → kx = −b → x = −b ÷ k, точка (−b ÷ k; 0)

Чтобы построить график, достаточно двух точек: одна на оси Oy, вторая на оси Ox. Хочешь проверить себя на простых примерах — загляни в личный кабинет и реши пару заданий с автоматической проверкой.

Коэффициент k: наклон, возрастание и убывание

Коэффициент k — главный «характер» прямой. Если k > 0, функция возрастает: идёшь вправо — график поднимается вверх. Если k < 0, функция убывает: вправо — вниз. Чем больше |k| по модулю, тем круче наклон; маленький k даёт почти горизонтальную линию.

y = 2x + 1 → k = 2 > 0, функция возрастает
y = −0,5x + 4 → k = −0,5 < 0, функция убывает
y = 3x − 2 → k = 3, наклон круче, чем у y = x

Проверить возрастание можно по точкам: берём x = 0 и x = 1. Для y = 2x + 1 получаем y = 1 и y = 3 — значение выросло, значит k положительный. Такой способ удобен, когда формула записана нестандартно и сразу не видно коэффициента.

Типичная ошибка — считать, что знак k показывает, где расположена прямая: выше или ниже оси. Нет, k отвечает только за наклон. Положение по вертикали задаёт b. Ещё путают наклон с пересечением: «k = −4, значит прямая ниже» — неверно.

Коэффициент b: где прямая встречает ось Oy

Коэффициент b — это ордината точки пересечения с осью Oy. Подставь x = 0 в формулу: y = k · 0 + b = b. Значит, график всегда проходит через точку (0; b). Дальше всё просто: чем больше b, тем выше прямая поднята.

Типичная ошибка — читать b как «число справа» без учёта знака и порядка. В записи y = 4 − 2x свободный член равен 4, а не −2: формулу сначала приводят к виду y = −2x + 4. И помни: прямые параллельны, если k₁ = k₂, а b₁ ≠ b₂.

Разбор примера: y = −2x + 4 от условия до ответа

Разберём типовое задание контрольной: дана функция y = −2x + 4. Нужно найти k и b, точки пересечения с осями, определить возрастание и проверить, проходит ли график через точку (1; 2).

k = −2, b = 4
x = 0 → y = 4, точка A (0; 4)
y = 0 → −2x + 4 = 0 → −2x = −4 → x = 2, точка B (2; 0)
k = −2 < 0 → функция убывает
Проверка точки (1; 2): y = −2 · 1 + 4 = 2 → точка принадлежит графику
Ответ: k = −2, b = 4, A (0; 4), B (2; 0), функция убывает

Как строить: отметь A на оси Oy (вверх 4), отметь B на оси Ox (вправо 2), приложи линейку и проведи прямую через эти точки. Для контроля возьми третью точку, например x = −1: y = 6, и убедись, что она лежит на той же прямой. Типичная ошибка здесь — при решении −2x + 4 = 0 делить на −2 и терять знак, получая x = −2 вместо x = 2. Если график пересекает ось Ox в двух точках, речь уже о параболе — подробный разбор есть в статье про квадратные уравнения и дискриминант.

Типичные ошибки на контрольной и самопроверка

Первая ошибка — путать k и b местами. Запомни: k стоит рядом с x, b — отдельное число. Вторая — считать, что любая прямая y = kx + b проходит через начало координат. Это верно только при b = 0. Третья — читать коэффициенты, не приведя формулу к стандартному виду: y = 5 − x и y = 5x − 1 это разные прямые.

Четвёртая ошибка — знаки при подстановке отрицательного x: y = 3x + 1 при x = −2 даёт −6 + 1 = −5, а не 7. Пятая — связывать возрастание со свободным членом b. Проверяй себя так: k, b, точка на Oy, точка на Ox, направление. Пять пунктов — и ответ готов.

Похожий разбор «где именно теряются баллы» мы делали в статье о типичных ошибках в геометрии базового ЕГЭ — логика самопроверки там та же.

Что запомнить

Коротко о главном. Формула y = kx + b задаёт прямую. Коэффициент k отвечает за наклон: k > 0 — возрастает, k < 0 — убывает, и чем больше |k|, тем круче. Коэффициент b — это ордината точки (0; b), где прямая пересекает ось Oy. Нуль функции находится из уравнения kx + b = 0, то есть x = −b ÷ k.

Для построения хватает двух точек, но третью стоит брать для проверки. Перед чтением коэффициентов всегда приводи формулу к стандартному виду и следи за знаками при подстановке отрицательных чисел. Прямые параллельны при равных k и разных b.

Следующий шаг: зарегистрируйся в личном кабинете и реши 5 заданий бесплатно — так теория превратится в навык, и на контрольной ты будешь узнавать ответ почти сразу.