Линейное уравнение: алгоритм решения: контрольная работа с ответами

Что такое линейное уравнение: узнаём с первого взгляда

Пять минут на одно уравнение, а в тетради уже три зачёркнутых строки и красная помарка? Знакомо почти каждому семикласснику: правило вроде понятное, но на контрольной что-то ломается. Разберём линейные уравнения по шагам, а в конце — тренировочная контрольная с ответами, чтобы ты проверил себя спокойно.

Линейное уравнение — это уравнение вида ax + b = 0, где a и b — числа, x — переменная, причём a ≠ 0. Решается оно в одно действие: переносим b вправо и делим на коэффициент, получая x = −b ÷ a. Например, 4x − 12 = 0 → 4x = 12 → x = 3. Никаких степеней выше первой и переменных в знаменателе здесь нет.

Узнать линейное уравнение проще всего после упрощения: раскрой скобки, приведи подобные и посмотри, осталась ли переменная в первой степени. Так, 3(x − 2) = 9 превращается в 3x = 15, то есть в обычное линейное. А вот x² = 9, 1 ÷ x = 5 или x · (x − 1) = 0 линейными не будут: там переменная во второй степени, в знаменателе или в произведении сама на себя.

Типичная ошибка на этом этапе — принять за линейное уравнение пример с модулем или с x в знаменателе. Такие задания решаются другими способами, и на контрольной их обычно помечают отдельно. Если хочешь заглянуть вперёд по программе, посмотри разбор показательных уравнений — там тоже работает идея приведения к простому виду.

Алгоритм решения: шесть шагов, которые работают всегда

Шаг 1 — раскрой скобки, умножив множитель на каждое слагаемое внутри. Шаг 2 — избавься от дробей: умножь обе части уравнения на общий знаменатель. Шаг 3 — собери слагаемые с x в левой части, а числа в правой, помня, что при переносе через знак равенства знак меняется на противоположный.

Шаг 4 — приведи подобные слагаемые отдельно слева и справа. Шаг 5 — раздели обе части на коэффициент при x, не потеряв минус. Шаг 6 — подставь найденный корень в исходное уравнение и проверь, что левая и правая части совпали. Эти шесть шагов выручают и в примерах с дробями, и в примерах с десятичными числами.

Посмотрим: 5(x − 3) = 2(x + 3). Раскрываем скобки: 5x − 15 = 2x + 6. Переносим: 5x − 2x = 6 + 15, то есть 3x = 21, значит x = 7. Проверка: слева 5 · (7 − 3) = 20, справа 2 · (7 + 3) = 20 — сходится.

Частая ошибка — умножить на общий знаменатель только одно слагаемое или забыть умножить свободный член справа. Правило жёсткое: умножай всё уравнение целиком. Ещё одна ловушка — деление на коэффициент при переменной без смены знака: из −4x = 12 получается x = −3, а не 3.

Разбираем пример полностью: дроби не страшны

Решим уравнение (2x − 1) ÷ 3 − (x + 2) ÷ 2 = 1. Сначала убираем дроби: общий знаменатель 6, умножаем на 6 каждое слагаемое, включая единицу справа. Дальше работаем по алгоритму и обязательно проверяем ответ.

(2x − 1) ÷ 3 − (x + 2) ÷ 2 = 1
Умножаем обе части на 6:
2 · (2x − 1) − 3 · (x + 2) = 6
4x − 2 − 3x − 6 = 6
x − 8 = 6
x = 14

Проверка: (2 · 14 − 1) ÷ 3 = 27 ÷ 3 = 9; (14 + 2) ÷ 2 = 16 ÷ 2 = 8; 9 − 8 = 1. Корень найден верно. Обрати внимание на второй шаг: шестёрка разделилась на знаменатели 3 и 2, поэтому перед скобками появились множители 2 и 3, а правая часть умножилась целиком.

Типичная ошибка здесь — забыть про минус перед второй дробью: 2 · (2x − 1) − 3 · (x + 2), а не + 3 · (x + 2). Минус перед дробью относится ко всей дроби, поэтому в скобках знаки меняются. Если хочешь отработать похожие примеры с подсказками, загляни в личный кабинет — там задания идут от простых к сложным.

Контрольная работа с ответами: проверь себя

Ниже пять заданий в формате контрольной работы для 7 класса и одна текстовая задача. Сначала реши всё в тетради, потом сверься с таблицей: так ты увидишь настоящие пробелы, а не мнимые.

Разберём пятое — оно чаще всего ломает работу. Раскрываем скобки: 6 − 2x − 6 = 4x − 4, слева остаётся −2x. Переносим: −2x − 4x = −4, то есть −6x = −4, значит x = 4 ÷ 6 = 2 ÷ 3.

Ещё задача, которая любит встречаться на контрольных: «Задумали число, умножили на 3, прибавили 8 и получили 26». Обозначаем число через x: 3x + 8 = 26 → 3x = 18 → x = 6. Текстовые задачи решаются тем же алгоритмом, меняется лишь первый шаг — перевод условия на язык уравнений. А потренироваться на геометрии можно в статье про углы и треугольники: там уравнения тоже встречаются.

Типичные ошибки на контрольной

Первая по частоте ошибка — не поменять знак при переносе. Из 7x − 5 = 3x + 11 получается 7x − 3x = 11 + 5, а не 11 − 5. Вторая — умножить на общий знаменатель только часть уравнения. Третья — потерять минус перед скобкой: −(x − 4) = −x + 4.

Отдельно стоит случай, когда коэффициент при x превращается в ноль. Если после приведения осталось 0 · x = 5, корней нет: ноль никогда не равен пяти. Если получилось 0 · x = 0, то корнем будет любое число — таких решений бесконечно много. Эти два случая часто попадаются в заданиях повышенной сложности.

И последняя ошибка — экономия на проверке. Подстановка корня занимает двадцать секунд, зато сразу показывает арифметический промах. На контрольной это спасёт не один балл, а привычка проверять останется с тобой и в старших классах.

Что запомнить

Линейное уравнение приводится к виду ax + b = 0, и его корень равен −b ÷ a. Решение идёт по шести шагам: скобки, знаменатели, перенос, подобные, деление на коэффициент, проверка. Любое отклонение от этого порядка почти всегда даёт ошибку.

Главные правила безопасности: переносишь — меняешь знак; умножаешь на знаменатель — умножаешь всё уравнение; делишь на коэффициент — следишь за минусом. Если переменная исчезла, разбирай два случая: 0 · x = 5 — корней нет, 0 · x = 0 — корней бесконечно много.

Следующий шаг простой: зарегистрируйся в личном кабинете и реши 5 заданий бесплатно — тренажёр покажет, где именно ты теряешь баллы, и подберёт похожие примеры для отработки. Так подготовка к контрольной займёт вечер, а не неделю.