Сложение и вычитание многочленов: задачи с решениями и ответами

Что такое многочлены и как их складывать

Скобки, похожие слагаемые и знаки часто превращают простое выражение в источник ошибок. Научись действовать по понятному алгоритму — и сложение с вычитанием многочленов станет обычной тренировкой, а не угадыванием ответа.

Многочлен состоит из одночленов: чисел, переменных и их произведений. Например, 4x² − 3x + 7 — многочлен, а 4x² и −3x — его члены. При сложении раскрываем скобки, если они есть, а затем объединяем только подобные слагаемые.

2x² + 5x − 3 + 4x² − 2x + 8
=(2x² + 4x²) + (5x − 2x) + (−3 + 8)
=6x² + 3x + 5

Подобными называют слагаемые с одинаковой буквенной частью и одинаковыми степенями. Коэффициенты складываются отдельно. Ошибка: складывать 2x² и 3x, потому что переменная одна. Степени различаются, поэтому такие слагаемые не объединяются.

Если нужны дополнительные упражнения на аккуратные вычисления, загляни в бесплатную практику в личном кабинете. Перед началом полезно повторить правила действий с числами.

Вычитание многочленов: главное правило

Вычитание многочлена заменяем прибавлением противоположного. Практически это означает: перед второй скобкой меняем знаки у всех её членов. Только после этого раскрываем скобки и собираем подобные слагаемые.

7a² − 3a + 4 − (2a² + 5a − 6)
=7a² − 3a + 4 − 2a² − 5a + 6
=(7a² − 2a²) + (−3a − 5a) + (4 + 6)
=5a² − 8a + 10

Обрати внимание: знак «минус» относится ко всей скобке. Поэтому +2a² превращается в −2a², +5a — в −5a, а −6 — в +6. Нельзя менять знак только у первого слагаемого.

Для уверенности можно потренировать базовые вычисления в разделе о умножении и делении столбиком: внимательность к знакам пригодится и здесь.

Алгоритм действий по шагам

Удобный алгоритм состоит из четырёх действий. Сначала раскрой скобки: при плюсе знаки сохраняются, при минусе меняются. Затем выпиши члены по убыванию степеней. После этого найди подобные слагаемые и сложи их коэффициенты. В конце проверь порядок степеней и знаки.

3y³ − 2y + 1 + (−y³ + 6y − 4)
=3y³ − 2y + 1 − y³ + 6y − 4
=(3 − 1)y³ + (−2 + 6)y + (1 − 4)
=2y³ + 4y − 3

Если какого-то члена нет, это не ошибка. Например, в ответе может отсутствовать y², потому что подобных слагаемых не было или они сократились. Нулевой коэффициент обычно не записывают.

Типичная ошибка — перепутать степень и коэффициент: в 5y² число 5 является коэффициентом, а y² — буквенной частью. Не складывай их как отдельные числа.

После разбора можно зарегистрироваться и открыть бесплатные задания, чтобы пройти этот алгоритм самостоятельно.

Разобранная задача и проверка ответа

Рассмотрим выражение с двумя переменными: 5x² − 2xy + y² − (3x² + xy − 4y²). Здесь подобные слагаемые определяются всей буквенной частью. Поэтому x², xy и y² — разные виды членов, хотя везде используются x и y.

5x² − 2xy + y² − (3x² + xy − 4y²)
=5x² − 2xy + y² − 3x² − xy + 4y²
=(5 − 3)x² + (−2 − 1)xy + (1 + 4)y²
=2x² − 3xy + 5y²

Ответ уже приведён к стандартному виду: сначала члены второй степени, затем остальные по выбранному порядку. Проверить результат можно подстановкой x = 1 и y = 1. Исходное выражение даст 4, и ответ тоже: 2 − 3 + 5 = 4.

Такой способ проверки не доказывает решение для всех значений, но быстро обнаруживает ошибку в знаке или коэффициенте. Частая проблема — считать xy подобным x². Сравнивай не отдельные буквы, а всю буквенную часть вместе со степенями.

Если хочется видеть подсказки только там, где они нужны, используй личный кабинет для самостоятельной практики и возвращайся к решению после попытки.

Типичные ошибки в задачах

Первая ошибка — потеря минуса перед скобками. Исправление простое: мысленно умножь каждый член скобки на −1. Вторая — объединение неподобных слагаемых: 4a и 4a² нельзя заменить на 8a³. Третья — неверное сложение коэффициентов, особенно когда оба отрицательны.

−6b² + 4b − 1 − (−2b² − 3b + 5)
=−6b² + 4b − 1 + 2b² + 3b − 5
=−4b² + 7b − 6

Полезно вести решение вертикально или группировать члены по буквенной части. После получения ответа проверь: все ли скобки раскрыты, не изменился ли знак, не осталось ли подобных слагаемых.

Ещё одна ошибка — записать результат без упорядочивания. Это не всегда делает ответ неверным, но усложняет проверку. Приводи многочлен к аккуратному стандартному виду.

Что запомнить

Сложение многочленов: раскрой скобки, сохрани знаки и объедини подобные слагаемые. Вычитание: замени минус перед скобками на смену знаков у каждого члена. Подобными являются только слагаемые с одинаковой буквенной частью и степенями.

A + (B − C) → A + B − C
A − (B − C) → A − B + C
3x² + 2x² = 5x², но 3x² + 2x ≠ 5x²

Решай не в уме, а по этапам: скобки, группировка, коэффициенты, проверка. Если ответ кажется странным, подставь простые значения переменных и сравни исходное выражение с результатом.

Следующий шаг — зарегистрируйся и реши 5 заданий бесплатно. Так ты поймёшь, где именно возникает ошибка: в раскрытии скобок, знаках или приведении подобных.

А вопросы о делимости и общих делителях можно повторить в материале про делимость, НОК и НОД: уверенные вычисления помогают и в алгебре.