Умножение и деление степеней: свойства: контрольная работа с ответами

Что именно проверяет контрольная по степеням

Ситуация знакомая: дома примеры решаются легко, а на контрольной в выражении a⁵ · a³ у тебя внезапно выходит a¹⁵ — и половина баллов потеряна на ровном месте. Причина почти всегда одна: правила перепутаны местами. В этой статье ты разберёшь свойства степени по порядку, увидишь полностью решённый пример, познакомишься с типичными ловушками и сможешь сверить свои ответы.

Степень aⁿ — это произведение n одинаковых множителей: a · a · … · a. Здесь a — основание, n — показатель. Запомни главное: все свойства вытекают из этой записи, а не из набора отдельных формул. Если понимать определение, нужную формулу легко восстановить за пару секунд, даже если она вылетела из головы.

Контрольная обычно состоит из четырёх типов заданий: умножение степеней, деление, возведение степени в степень и упрощение дробных выражений. Перед разбором стоит освежить счёт: поможет материал про натуральные числа и координатный луч. А для тренировки внимательности загляни в статью про арифметическую прогрессию — там тоже важно вовремя замечать закономерность.

Умножение степеней с одинаковым основанием

Правило простое: aⁿ · aᵐ = aⁿ⁺ᵐ. Показатели складываются, а основание остаётся тем же. Почему так? Раскроем определение: a² · a³ = (a · a) · (a · a · a) = a⁵. Два множителя плюс три множителя дают пять — вот и вся логика правила, никакой магии.

Примеры: 3⁴ · 3² = 3⁶ = 729; x⁵ · x = x⁶ (единичный показатель не пишут, но складывать его нужно); 5 · 5³ = 5⁴ = 625. С коэффициентами работаем отдельно: 2a³ · 4a² = 8a⁵ — числа перемножаем, степени складываем, а буквы не трогаем.

Типичная ошибка — перемножить показатели и получить a¹⁵ вместо a⁸. Так делать нельзя: при умножении степени растут медленнее, чем кажется. И ещё одно: правило работает только при одинаковых основаниях. Для 2² · 3² нужно другое свойство — о нём чуть позже.

Деление степеней и нулевой показатель

При делении показатели вычитаются: aⁿ : aᵐ = aⁿ⁻ᵐ, где n ≥ m и a ≠ 0. Проверка та же: a⁵ : a² = (a·a·a·a·a) : (a·a), две пары сокращаются, остаётся a³. Примеры: 7⁸ : 7⁵ = 7³ = 343; y¹² : y⁴ = y⁸; 9⁶ : 9 = 9⁵.

Отдельный случай — когда показатели равны: a⁵ : a⁵ = 1, а по формуле получается a⁰. Поэтому принимают a⁰ = 1 для любого a ≠ 0. Например, 6⁰ = 1, (2x)⁰ = 1. А вот 0⁰ не определено, потому что делить на ноль нельзя.

Типичная ошибка — вычитать «наоборот»: 5⁶ : 5² = 5³ вместо 5⁴. Чтобы не путаться, выписывай показатели отдельной строкой, вычитай из большего меньший, а потом сразу проверяй результат.

Степень в степени и степень произведения

Здесь два свойства. Первое: (aⁿ)ᵐ = aⁿ·ᵐ — показатели перемножаются. Пример: (2³)² = 2⁶ = 64; (x²)⁵ = x¹⁰. Второе: (a · b)ⁿ = aⁿ · bⁿ — степень произведения равна произведению степеней: (3x)⁴ = 3⁴ · x⁴ = 81x⁴.

Есть и третий родственник — степень дроби: (a : b)ⁿ = aⁿ : bⁿ. Например, (2 : 5)³ = 8 : 125 = 0,064. Такая запись часто встречается в заданиях на упрощение, где в числителе и знаменателе стоят одинаковые буквы.

Типичная ошибка — путать (aⁿ)ᵐ с aⁿ · aᵐ. В первом случае показатели умножаются, во втором складываются: (a³)² = a⁶, а a³ · a² = a⁵. Вторая частая ошибка — «раздавать» степень сумме: (2 + 3)² = 25, а вовсе не 2² + 3² = 13.

Разбор контрольной: полный пример и ответы

Упрости выражение: ((3a²b)³ · (2ab⁴)²) : (6a⁵b⁶). Сначала раскрываем скобки, затем перемножаем коэффициенты и отдельно степени с одинаковыми основаниями, и только в конце делим.

(3a²b)³ = 3³ · (a²)³ · b³ = 27a⁶b³
(2ab⁴)² = 2² · a² · (b⁴)² = 4a²b⁸
27a⁶b³ · 4a²b⁸ = 108a⁸b¹¹
108a⁸b¹¹ : 6a⁵b⁶ = 18a³b⁵
Ответ: 18a³b⁵

Каждый шаг проверяем по правилам: при умножении показатели складываем, при делении вычитаем, коэффициент делим на коэффициент. Ниже — короткая таблица для самопроверки, такие задания чаще всего и попадаются в контрольной работе.

Если хоть одна строка разошлась с твоим ответом, вернись к нужному свойству и реши пять похожих примеров подряд, пока действие не станет автоматическим. Ещё больше заданий с мгновенной проверкой ждёт тебя в личном кабинете.

Что запомнить

Итог короткий: при умножении показатели складываются, при делении вычитаются, при возведении степени в степень перемножаются, а при возведении произведения — «раздаются» каждому множителю. Нулевая степень любого ненулевого числа равна единице. Все правила требуют одинаковых оснований.

Проверь себя по трём вопросам: умеешь ли ты быстро раскрывать (3x²)³; не путаешь ли a⁵ · a³ с (a⁵)³; помнишь ли про скобки в записи (2x)³. Если да — контрольная пройдёт спокойно, без обидных потерь баллов.

Следующий шаг: зарегистрируйся и реши 5 заданий бесплатно в личном кабинете — это быстрее, чем перечитывать теорию. Ошибки разберутся автоматически, и ты увидишь, какие свойства уже работают на автомате.