Умножение одночленов и возведение в степень: задачи с решениями и ответами

1. Что такое одночлен

Если при умножении букв и чисел постоянно путаются знаки, степени и порядок записи, тема кажется сложнее, чем есть. Разберём одночлены по шагам: после статьи ты сможешь уверенно упрощать выражения и проверять каждый результат.

Одночлен — это произведение чисел, букв и их степеней. Число называют коэффициентом, а буквенную часть — переменной частью. Например, в выражении −7a²b коэффициент равен −7, а буквенная часть — a²b.

3x · 4y = 12xy
−5a² · 2a³b = −10a⁵b

При записи одночлена обычно располагают коэффициент перед буквами, а одинаковые буквы объединяют. Если буква встречается несколько раз, складывают её показатели степеней: a² · a³ = a⁵.

Пример: 6m²n · 3mn⁴ = 18m³n⁵. Коэффициенты 6 и 3 перемножили, для m сложили показатели 2 и 1, для n — 1 и 4.

Типичная ошибка — складывать коэффициенты вместо умножения или складывать сами буквы: 2x · 3x нельзя превращать в 5x. Для повторения базовых правил можно открыть бесплатную практику в личном кабинете.

2. Умножение одночленов по правилу

Алгоритм состоит из трёх действий. Сначала перемножь числовые коэффициенты. Затем выпиши все буквы. Наконец, у одинаковых букв сложи показатели степеней. Если буква есть только в одном множителе, её показатель просто перепиши.

−2x³y · 5xy²z =
(−2) · 5 · x³ · x · y · y² · z =
−10x⁴y³z

Знак произведения определяется отдельно: одинаковые знаки дают плюс, разные — минус. Поэтому произведение двух отрицательных одночленов положительно, а отрицательного и положительного — отрицательно.

Разберём ещё один пример: 4p²q · (−3pq³). Коэффициенты дают −12, для p получаем p³, для q — q⁴. Ответ: −12p³q⁴.

Если в множителе стоит дробный или десятичный коэффициент, правило не меняется: ½a² · 6a = 3a³. Сначала удобно вычислить числа, затем заняться буквами.

Типичная ошибка — умножить показатели: x² · x³ ≠ x⁶. Правильно: x⁵, потому что основания одинаковые, а показатели при умножении складываются.

3. Возведение одночлена в степень

Чтобы возвести одночлен в степень, нужно возвести в эту степень коэффициент и умножить на показатель каждой буквы. Иными словами, степень распространяется на весь одночлен, а не только на первую букву.

(3a²b)² = 3² · (a²)² · b² = 9a⁴b²
(−2xy³)³ = −8x³y⁹

Обрати внимание на знак. При чётной степени отрицательный коэффициент становится положительным, при нечётной сохраняет минус: (−4m)² = 16m², а (−4m)³ = −64m³.

Полностью разобранный пример: найти (−2a²b³)². Сначала возводим коэффициент: (−2)² = 4. Затем показатель a² умножаем на 2 и получаем a⁴. Показатель b³ умножаем на 2 и получаем b⁶. Ответ: 4a⁴b⁶.

Полезно мысленно поставить скобки вокруг всего одночлена. Тогда видно, что степень относится и к числу, и ко всем буквам.

Типичная ошибка — записать (2x³)² как 4x⁵. Показатели не складываются при возведении степени в степень: они перемножаются, поэтому получается x⁶.

4. Умножение и степень в одном выражении

В смешанных заданиях важно соблюдать порядок действий. Сначала выполни возведение в степень, затем перемножь получившиеся одночлены. Можно также последовательно раскрывать каждую скобку, если так меньше риск ошибки.

2x · (−3x²y)² =
2x · 9x⁴y² =
18x⁵y²

Рассмотрим выражение 5a² · (2ab²)³. Сначала вычисляем степень: (2ab²)³ = 8a³b⁶. Теперь умножаем на 5a²: 5a² · 8a³b⁶ = 40a⁵b⁶.

Если перед скобками стоит коэффициент, он не входит внутрь степени автоматически. В выражении 3(xy)² число 3 остаётся без изменения: 3x²y². А в выражении (3xy)² коэффициент тоже возводится в квадрат: 9x²y².

Проверяй результат по двум направлениям: знак и показатели. Если исходный коэффициент отрицателен и степень чётная, итоговый знак должен быть плюсом.

Типичная ошибка — перепутать 2x² и (2x)². В первом случае результат уже 2x², во втором — 4x². Скобки меняют смысл выражения.

Для тренировки похожих преобразований удобно использовать личный кабинет с заданиями для самостоятельной практики.

5. Типичные ошибки и самопроверка

Перед ответом проверь четыре пункта: правильно ли перемножены коэффициенты, верно ли определён знак, сложены ли показатели одинаковых букв и не исчезли ли буквы, встречающиеся только один раз.

Попробуй решить самостоятельно: 7c² · (−2c³d) и (−3mn²)². Ответы: −14c⁵d и 9m²n⁴. Сначала реши без подсказки, затем сравни запись по шагам.

Типичная ошибка — считать, что разные буквы можно объединять. Выражение 2ab · 3ac равно 6a²bc, но b и c не складываются и не превращаются в одну переменную.

Если интересны другие навыки оформления математических решений, посмотри материал как оформлять геометрию на ОГЭ.

6. Что запомнить

При умножении одночленов перемножай коэффициенты, учитывай знак, а показатели одинаковых букв складывай. При возведении одночлена в степень возводи коэффициент в степень, а каждый показатель умножай на показатель степени.

aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ
(aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ
(ab)ⁿ = aⁿbⁿ

Мини-проверка: чему равно −4x² · 3x⁴y и (−2pq²)³? Ответы: −12x⁶y и −8p³q⁶. В обоих случаях сначала отдельно обработай числа, затем буквы.

Если хочешь закрепить тему, зарегистрируйся и реши 5 заданий бесплатно в личном кабинете. После каждого примера объясняй себе, почему получился именно такой знак и показатель.

Не торопись переписывать ответ: аккуратная промежуточная строка помогает заметить ошибку. Для расширения подготовки можно также изучить задание 16 профильного ЕГЭ.

Типичная ошибка — забыть, что нулевая степень ненулевого одночлена равна 1. Правило работает только при основании, не равном нулю.