Задание 16 ЕГЭ по математике (профиль): как решать

Что это за задание

Задание 16 — текстовая задача с экономическим сюжетом из второй части профильного ЕГЭ. Как и в заданиях 13–15, нужен развёрнутый ответ: модель, вычисления и ответ на вопрос задачи записываются на бланке. Типовые сюжеты: кредит с равными (аннуитетными) платежами, кредит с дифференцированными платежами, вклад с начислением процентов, реже — производство и скидки.

Вся математика здесь держится на одной операции — умножении на множитель повышения. Если проценты давно «плавают», начни с разбора задач на проценты: без уверенной работы с множителями экономическая задача превращается в болото арифметики.

Тип 1. Кредит с равными платежами

Схема: банк выдаёт сумму S под r% годовых, заёмщик каждый год вносит одинаковый платёж x, и через n лет долг обнуляется. Каждый год происходят два события: долг сначала увеличивается на проценты, затем уменьшается на платёж.

новый долг = старый долг · (1 + r100) − x

Пример: кредит 210 тысяч под 10% на два года, платежи равные, долг к концу обнулён. Найдём платёж.

1. Год 1: долг растёт до 210 · 1,1 = 231, после платежа x остаток равен 231 − x.
2. Год 2: остаток растёт до (231 − x) · 1,1 = 254,1 − 1,1x, после платежа x долг нулевой.
3. Уравнение: 254,1 − 1,1x − x = 0, откуда 2,1x = 254,1 и x = 121.

Ответ: 121 тысяча рублей. Проверка: 210 → 231 → 110 → 121 → 0. Всё сходится, и проверка заняла одну строку — показывай её в решении, это плюс к убедительности.

Тип 2. Дифференцированные платежи

Здесь сам долг уменьшается на равную часть каждый период, поэтому платежи получаются разными: проценты убывают вместе с долгом. Условие «долг уменьшается равномерно» — сигнал, что это именно этот тип.

Пример: кредит 1000 тысяч на два года под 20%, долг уменьшается равномерно. Половина долга гасится каждый год.

1. Год 1: проценты — 20% от 1000, это 200. Гасим 500 тела: платёж 700, остаток 500.
2. Год 2: проценты — 20% от 500, это 100. Гасим оставшиеся 500: платёж 600, остаток 0.
3. Всего выплачено 700 + 600 = 1300, переплата равна 300 тысяч.

Никаких уравнений не понадобилось — только аккуратная таблица. За это и любят дифференцированные платежи составители: проверяется модель, а не техника.

Тип 3. Вклады и накопление

Вклад работает как кредит «наоборот»: сумма каждый год умножается на множитель повышения, иногда с пополнением. Через n лет вклад S под r% годовых превращается в:

\( S \cdot (1 + \dfrac{r}{100})ⁿ \)

Пример: 100 тысяч под 10% на два года: 100 · 1,1 = 110, затем 110 · 1,1 = 121. Ответ — 121 тысяча. Если вклад пополняется, в модель добавляется слагаемое после каждого начисления, и решение снова превращается в цепочку строк таблицы.

Как оформить и за что снимают баллы

Задание оценивается по критериям: за построение модели, за ход вычислений и за верный ответ к поставленному вопросу. Точную раскладку сверяй с демоверсией ФИПИ. Типичные потери баллов:

1. Модель не описана словами: эксперт видит уравнение, но не видит, что означает каждая переменная.
2. Перепутан порядок внутри года: сначала платёж, потом проценты — хотя в условии наоборот.
3. Ответ не на вопрос: спросили переплату, а найден ежегодный платёж.
4. Проценты складываются вместо умножения на множитель: 20% за два года — это не 40%, а 44%.
5. Арифметическая ошибка в конце: финальные вычисления проверяй отдельно, на них держится ответ.

Лучший формат — таблица «год — долг после начисления — платёж — остаток» плюс короткое уравнение или вывод. Она читается экспертом за минуту и защищает тебя: модель видна целиком.

Экономическая задача — самый «жизненный» номер ЕГЭ: научишься здесь, поймёшь и свою будущую ипотеку. Освежи смежные темы — задачи на проценты и задачи на части и доли — и двигайся дальше по второй части: неравенство в задании 15 и план подготовки к ЕГЭ по математике, чтобы понимать цену каждой задачи. И помни: рядом всегда есть Просто Урок, где любую тему объяснят спокойно и по шагам.