Числовые неравенства и их свойства: задачи с решениями и ответами

1. Что такое числовое неравенство

Если знаки «<», «>», «≤» и «≥» пока путаются, решение задач занимает больше времени, чем нужно. Разберём тему по шагам: ты научишься сравнивать числа, преобразовывать неравенства и проверять ответ без догадок.

Числовое неравенство — это запись, в которой сравниваются два числа или выражения. Знак «<» означает «меньше», «>» — «больше», а «≤» и «≥» допускают равенство. Например, 7 > 3, потому что 7 находится правее 3 на числовой прямой.

−4 < 1
2,5 ≥ 2,5
−8 < −3

Чтобы сравнить отрицательные числа, помни: ближе к нулю — больше. Поэтому −3 > −8. Полезно представить числа на прямой и определить, какое из них расположено правее.

Пример: сравним −6 и −2. Число −2 правее −6, значит, −6 < −2. Типичная ошибка — считать большим то число, у которого больше модуль. В отрицательных числах это правило не работает.

Для дополнительной тренировки можно разобрать похожие задания в статье про задания ОГЭ по математике.

2. Основные свойства неравенств

С неравенством можно выполнять одинаковые действия с обеими его частями. Если прибавить одно и то же число, знак не изменится. То же относится к вычитанию и умножению на положительное число.

Если a < b, то a + c < b + c
Если a < b и c > 0, то a·c < b·c

Пример: из неравенства 4 < 9 вычтем 3: получим 1 < 6. Умножим обе части на 2: 8 < 18. В каждом случае порядок чисел сохранился.

Пример с буквами: x + 5 > 12. Вычитаем 5 и получаем x > 7. Ошибка — вычесть число только справа или перепутать направление знака после переноса слагаемого.

В личном кабинете можно бесплатно потренироваться на коротких примерах и сразу проверить порядок действий.

3. Когда знак неравенства меняется

Главное особое правило: при умножении или делении обеих частей на отрицательное число знак неравенства переворачивается. Было «<» — станет «>», и наоборот. Это связано с тем, что числовая прямая меняет направление.

−2x < 10
x > 10 ÷ (−2)
x > −5

Разберём решение полностью. Делим обе части на −2. Поскольку делитель отрицательный, знак меняем: x > −5. Проверим число x = 0: −2·0 < 10, то есть 0 < 10, верно. Значит, результат разумен.

Если делим на выражение с неизвестным знаком, сначала выясняем, положительно оно или отрицательно. Без этого нельзя заранее выбрать направление знака.

Типичная ошибка — сохранить знак при делении на −2. Тогда получится x < −5, но проверка числом 0 сразу покажет ошибку: 0 подходит исходному неравенству, а в таком ответе не подходит.

При сложных преобразованиях полезно записывать рядом причину: «делим на отрицательное число — меняем знак». Такую привычку удобно закреплять через бесплатную практику в личном кабинете.

4. Решение линейных неравенств

Линейное неравенство содержит неизвестное в первой степени. Решай его почти как уравнение: раскрой скобки, приведи подобные слагаемые, перенеси неизвестные в одну сторону, числа — в другую, затем раздели на коэффициент.

3x − 4 ≤ 11
3x ≤ 15
x ≤ 5

Ответ можно записать словами: подходят все числа, не превосходящие 5. На координатной прямой это луч влево с закрашенной точкой в 5, потому что равенство разрешено.

Если получилось x < 5, точка будет незакрашенной: число 5 не входит в решение. Для знаков «≥» и «≤» граница включается, а для строгих знаков «>» и «<» — нет.

Типичная ошибка — забыть поменять знак при делении на отрицательный коэффициент или поставить неправильную точку. После решения подставь подходящее число и проверь исходную запись.

5. Типичные ошибки и проверка ответа

Ошибки чаще всего появляются не в вычислениях, а в оформлении: теряется минус, неверно раскрываются скобки, забывается смена знака или неправильно изображается промежуток.

−2(x − 3) ≥ 8
−2x + 6 ≥ 8
−2x ≥ 2
x ≤ −1

Здесь после раскрытия скобок и вычитания 6 делим на −2, поэтому знак меняется. Проверим x = −2: −2·(−2 − 3) = 10, а 10 ≥ 8 — верно.

Если ответ записан промежутком, помни: квадратная скобка означает включение границы, круглая — исключение. Например, x ≤ 4 соответствует промежутку от минус бесконечности до 4 включительно.

Полезная проверка: выбери число внутри найденного промежутка и число снаружи. Первое должно удовлетворять исходному неравенству, второе — нет. Типичная ошибка — проверять только преобразованный результат.

Для геометрических задач важно также аккуратно оформлять рассуждения; подсказки есть в материале об оформлении геометрии на ОГЭ.

6. Что запомнить

Числовое неравенство сравнивает числа или выражения. Одинаковое прибавление, вычитание и умножение на положительное число сохраняют знак. Умножение или деление на отрицательное число меняет его направление.

5x − 7 > 18
5x > 25
x > 5

В этом примере деление выполняется на положительное число, поэтому знак остаётся прежним. Ответ: все числа больше 5. На прямой 5 отмечается незакрашенной точкой, луч направляется вправо.

Перед сдачей решения проверь три вещи: правильно ли раскрыты скобки, учтён ли знак коэффициента, соответствует ли рисунок ответу. Подстановка одного подходящего числа быстро обнаруживает арифметическую ошибку.

Типичная ошибка — написать только число 5 вместо промежутка всех подходящих значений. Неравенство обычно имеет множество решений, поэтому формулируй ответ полностью.

Следующий шаг простой: зарегистрируйся и реши 5 заданий бесплатно, а затем сравни свои действия с разбором. Так правило превращается в устойчивый навык.