Функция y = k/x и её график (гипербола)

Что такое обратная пропорциональность

Если обычные формулы уже путаются, а график кажется набором непонятных точек, начни с главной идеи: функция y = k/x показывает, как одна величина меняется в ответ на другую. Разберём тему по шагам, научимся строить гиперболу и быстро проверять ответы в заданиях 8 класса.

Здесь x — независимая переменная, y — зависимая, а k — постоянное ненулевое число. При каждом допустимом x значение y находят делением k на x. Поэтому произведение x · y всегда остаётся равным k.

y = k/x
x · y = k
x ≠ 0

Например, при y = 12/x получаем: если x = 3, то y = 4; если x = 6, то y = 2. Первая величина увеличилась в 2 раза, а вторая уменьшилась в 2 раза. Это и есть обратная пропорциональность.

Типичная ошибка — подставить x = 0. Делить на ноль нельзя, поэтому ноль не входит в область определения. Для дополнительной тренировки можно разобрать похожие задания в материале о заданиях ОГЭ.

Как построить график y = k/x

График функции y = k/x называется гиперболой. Чтобы построить его вручную, выбери несколько удобных ненулевых значений x, вычисли соответствующие y и отметь полученные точки на координатной плоскости. Затем проведи плавные ветви, не соединяя их с осями.

Рассмотрим y = 6/x. Удобно взять делители числа 6: 1, 2, 3 и соответствующие отрицательные значения. Получим точки с координатами (1; 6), (2; 3), (3; 2), (−1; −6), (−2; −3), (−3; −2).

x: 1, 2, 3, −1, −2, −3
y: 6, 3, 2, −6, −3, −2

Ветви графика приближаются к осям координат, но не пересекают их. Оси x и y называют асимптотами гиперболы. Ошибка — рисовать график как прямую или соединять точки ломаными отрезками. Форма должна быть плавной.

Знак коэффициента и расположение ветвей

Расположение гиперболы зависит от знака коэффициента k. Если k больше нуля, x и y имеют одинаковые знаки: при положительном x значение y положительно, а при отрицательном x — отрицательно. Ветви находятся в первой и третьей координатных четвертях.

Если k меньше нуля, x и y имеют разные знаки. Тогда ветви располагаются во второй и четвёртой четвертях. Например, для y = −4/x точка (2; −2) лежит в четвёртой четверти, а точка (−2; 2) — во второй.

k > 0 → xy > 0
k < 0 → xy < 0

Частая ошибка — смотреть только на знак y и забывать о знаке x. Проверяй произведение координат: его знак должен совпадать со знаком k. В геометрических задачах полезные свойства фигур можно повторить в статье про равнобедренный треугольник.

Как меняется график при разных k

Модуль коэффициента влияет на «раскрытие» гиперболы. Чем больше |k|, тем дальше ветви от начала координат при одинаковом x. Например, при x = 2 функция y = 3/x даёт y = 1,5, а функция y = 12/x даёт y = 6. Значит, вторая гипербола расположена выше в первой четверти.

Если коэффициенты противоположны по знаку, графики отражаются относительно оси x или оси y. Графики y = 4/x и y = −4/x имеют одинаковую форму, но лежат в разных парах четвертей.

y = 2/x: x = 4 → y = ½
y = 8/x: x = 4 → y = 2
|8| > |2| → ветви дальше от начала координат

Разберём типичную ошибку: ученик считает, что при увеличении k гипербола приближается к осям. На самом деле при фиксированном x значение y увеличивается, поэтому точка удаляется от оси x. Для закрепления вычислений можно открыть бесплатную практику в личном кабинете.

Разобранный пример и типичные ошибки

Построим график функции y = −6/x и определим, где находится точка A(3; −2). Сначала замечаем: k = −6, значит, ветви расположены во второй и четвёртой четвертях. Затем составляем таблицу, выбирая делители числа 6.

x = 1 → y = −6
x = 2 → y = −3
x = 3 → y = −2
x = −1 → y = 6
x = −2 → y = 3
x = −3 → y = 2

Отмечаем точки и проводим две плавные ветви, приближающиеся к осям. Для точки A проверим произведение координат: 3 · (−2) = −6. Оно совпадает с коэффициентом, поэтому точка принадлежит графику.

Ошибки обычно такие: забывают минус перед y, берут x = 0, помещают ветви в I и III четверти или проводят график через начало координат. После решения полезно проверить знак, произведение координат и расположение точки.

Что запомнить

Функция y = k/x задаёт обратную пропорциональность: произведение x · y постоянно и равно k, а x не может быть нулём. Её график — гипербола с асимптотами x = 0 и y = 0.

Если k положительно, ветви находятся в I и III четвертях; если k отрицательно — во II и IV. Для построения достаточно выбрать несколько значений x, вычислить y и отметить точки. При проверке точки используй условие x · y = k.

y = k/x
x · y = k
k > 0 → I и III
k < 0 → II и IV

Например, точка (−4; 1,5) принадлежит графику y = −6/x, потому что (−4) · 1,5 = −6. Типичная ошибка — перепутать обратную пропорциональность с линейной функцией. Следующий шаг прост: зарегистрируйся и реши 5 заданий бесплатно, проверяя каждый ответ по алгоритму.