Задание 19 ОГЭ по математике: как решать

Что проверяет задание 19

В первой части ОГЭ по математике задания идут от простых к сложным, и геометрия на клетчатой бумаге — одно из самых благодарных мест. Рисунок уже дан: фигура или угол нанесены на сетку, клетки обычно имеют размер 1×1. Требуется найти площадь фигуры, величину угла или тангенс угла и записать в бланк одно число.

Набор типов заданий периодически обновляется — перед экзаменом сверь его с актуальной демоверсией ФИПИ. А теперь три приёма, которые закрывают всю эту серию задач.

Площадь фигуры на клетчатой бумаге

Если стороны фигуры идут по линиям сетки, хватает базовых формул.

S треугольника = (основание · высота) / 2

S трапеции = (a + b) / 2 · h

1. Пример: у треугольника основание по линии сетки — 4 клетки, высота — 3 клетки.
2. Перемножаем: 4 · 3 = 12.
3. Делим пополам: 12 / 2 = 6.
4. Ответ: 6.

Наклонные фигуры тоже можно посчитать по формулам, разбив их на удобные части. Но быстрее применить формулу Пика.

Формула Пика

Для многоугольника, все вершины которого лежат в узлах клеток, площадь считается одной строкой.

S = В + Г / 2 − 1

Здесь В — число узлов внутри фигуры, Г — число узлов на её границе, включая вершины. Узел — это пересечение линий сетки.

1. Пример: прямоугольный треугольник с катетами 4 и 3 по линиям сетки.
2. Считаем граничные узлы: по нижнему катету 5, по левому 4, на гипотенузе только два конца. Г = 5 + 4 + 2 − 3 = 8 — вершины посчитаны дважды.
3. Внутри лежат три узла: В = 3.
4. S = 3 + 8 / 2 − 1 = 6.

Проверка: катеты 4 и 3, значит S = (4 · 3) / 2 = 6. Сходится. Формула Пика особенно выручает на наклонных четырёхугольниках, где разбиение на части отнимает время. Запомни ограничение: она работает только для многоугольников с вершинами в узлах. Для круга и фигур с дугами считай через формулы площадей или разбиение.

Углы на клетчатой бумаге

Большинство углов в таких задачах собирается из опорных случаев:

• стороны угла идут по линиям сетки — угол прямой, 90°;
• угол между стороной квадрата и его диагональю — 45°;
• угол на одной прямой линии сетки — развёрнутый, 180°.

Пример: отрезок идёт на 2 клетки вправо и на 2 вверх. Это диагональ квадрата 2×2, поэтому угол с горизонтальной линией равен 45°. Если фигура сложнее — дострой её до прямоугольного треугольника или квадрата и найди знакомый угол.

Тангенс угла

Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение противолежащего катета к прилежащему.

tg α = противолежащий катет / прилежащий катет

1. Выдели нужный угол.
2. Дострой его до прямоугольного треугольника: недостающий катет проведи по линиям сетки.
3. Посчитай клетки: сколько идёт на противолежащий катет и сколько на прилежащий.
4. Раздели.

Пример: угол между горизонтальным отрезком и наклонным, который ведёт на 4 клетки вправо и на 3 вверх. Противолежащий катет — 3 клетки, прилежащий — 4, значит tg = 3 / 4 = 0,75. Ответ: 0,75.

Ловушка: если просят тангенс тупого угла, ответ будет отрицательным. Тангенс тупого угла равен минус тангенсу смежного острого угла: посчитай катеты для острого и поставь знак минус.

Типичные ошибки и ловушки

• Считать, что клетка всегда 1×1. Обычно так и есть, но условие читай внимательно.
• Применять формулу Пика к кругу или фигуре с дугой — она для этого не предназначена.
• Перепутать катеты в тангенсе. Спроси себя: какой катет напротив угла? Он и идёт в числитель.
• Потерять минус у тангенса тупого угла.
• Записать в бланк не ту форму числа: сверься с инструкцией демоверсии, целое это или десятичная дробь.

Формула Пика и остальные формулы площадей — в статье про площади фигур, тангенс — в шпаргалке по тригонометрии. А когда первая часть закрыта, переходи ко второй: начни с разбора задания 20 про уравнения и неравенства.

Площадь, угол и тангенс на клетчатой бумаге — задачи на два-три действия: считай клетки аккуратно, и баллы будут твоими без стресса. А если нужна помощь, рядом всегда есть Просто Урок, где любую тему объяснят спокойно и по шагам.