Функция y = x² и её график (парабола): задачи с решениями и ответами

Функция y = x²: что это и почему её называют квадратичной

Ты открываешь учебник, видишь запись y = x² и понимаешь: таблица значений большая, точки разбегаются, а что с ними делать — неясно. Знакомо? Сейчас наведём порядок. Разберём, что это за функция, как строится её график и как решать типовые задачи из учебника и самостоятельных работ. После чтения ты перестанешь бояться параболы и научишься отвечать на вопросы, которые встречаются чаще всего.

Функция y = x² — это правило, по которому каждому числу x ставится в соответствие его квадрат. Здесь x — аргумент (независимая переменная), y — значение функции (зависимая переменная). Область определения — все действительные числа: подставить можно 0, 7, −2,5, любое число. А вот область значений ограничена: квадрат не бывает отрицательным, поэтому всегда y ≥ 0.

Пример: x = 4 → y = 16; x = −4 → y = 16; x = 0,5 → y = 0,25. Противоположные числа дают одинаковый результат, ведь (−a)² = a². Типичная ошибка — путать x² и 2x: при x = 5 первое даёт 25, а второе только 10. Ещё одна частая оплошность — считать, что 0² равно 1. Освежить вычисления поможет статья про действия с десятичными дробями.

График параболы и её свойства

Если отметить на координатной плоскости все точки вида (x; x²), получится плавная симметричная кривая — парабола. Вот её «скелет», таблица значений, с которой удобно начинать построение:

Свойства читаются прямо по графику. Вершина параболы — точка (0; 0), самая низкая на кривой. Ось симметрии — ось Oy: левая и правая ветви зеркальны. Ветви направлены вверх, потому что коэффициент перед x² положительный. Наименьшее значение функции равно 0, а наибольшего не существует: чем дальше от нуля уходит x, тем выше поднимается график.

Функцию y = x² называют чётной: её график симметричен относительно оси ординат, а значение зависит только от модуля x. На промежутке x ≤ 0 функция убывает, при x ≥ 0 — возрастает. Это помогает сравнивать значения без вычислений: если |a| > |b|, то a² > b².

Как построить график y = x² по шагам

Построение состоит из трёх шагов, и каждый из них прост. Главное — не спешить и делать всё по порядку, тогда ошибок почти не будет. Разберём полный пример от начала до конца.

Шаг 1. Составляем таблицу значений:
x = −3 → y = 9
x = −2 → y = 4
x = −1 → y = 1
x = 0 → y = 0
x = 1 → y = 1
x = 2 → y = 4
x = 3 → y = 9
Шаг 2. Отмечаем точки (−3; 9), (−2; 4), (−1; 1), (0; 0), (1; 1), (2; 4), (3; 9).
Шаг 3. Соединяем точки плавной линией — получаем параболу с вершиной в точке (0; 0).

Теперь проверим результат. Кривая должна быть симметричной, ветви — уходить вверх, а вершина — касаться начала координат. Если где-то получился «клюв» или излом, значит линия проведена неаккуратно. Потренироваться в построении удобно в личном кабинете: там есть интерактивные задания с мгновенной проверкой.

Типичная ошибка — соединять точки отрезками. Получается ломаная в форме буквы V, а это уже не парабола. Вторая ошибка — брать только положительные x: тогда видна лишь половина графика, и симметрию проверить невозможно. Всегда бери и отрицательные значения, и противоположные им.

Задачи: значение функции, аргумент, принадлежность точки

В задачах по этой теме встречаются три основных вопроса: найти y по известному x, найти x по известному y и проверить, лежит ли точка на графике. Все они решаются подстановкой в формулу y = x². Разберём полный пример.

Задача. Дана функция y = x². Найди y при x = −6 и найди x, если y = 25.
Решение 1: y = (−6)² = 36.
Решение 2: x² = 25 → x = 5 или x = −5.
Ответ: y = 36; x = ±5.

Проверка принадлежности точки выглядит так. Точка A(−7; 49): подставляем −7, получаем 49 — значит, точка на графике. Точка B(4; 8): 4² = 16, а не 8 — точка графику не принадлежит. Обрати внимание: в записи точки первым всегда идёт x, вторым y, и путать их нельзя.

Сравнение значений и пересечение с прямой

Отдельная группа задач — сравнить два значения без калькулятора. Здесь работает свойство чётности и монотонности: при одинаковом расстоянии от нуля значения равны, а при разном — больше то, у которого модуль аргумента больше. Например, (−9)² и 7²: модули 9 и 7, значит первое значение больше, ведь 81 > 49.

Задача. Найди точки пересечения графика y = x² и прямой y = 9.
Решение: приравниваем x² = 9 → x = 3 или x = −3.
Точки пересечения: (3; 9) и (−3; 9).
Проверка: 3² = 9 и (−3)² = 9 — обе точки подходят.

Графически это выглядит так: горизонтальная прямая y = 9 пересекает параболу в двух симметричных точках. Если прямая опустится до y = 0, точка пересечения останется одна — вершина. А при y = −4 пересечений не будет вовсе, ведь квадрат не бывает отрицательным.

Тем, кто готовится к экзамену, пригодится разбор задания 11 ЕГЭ по математике (база): там графики читаются по тем же правилам. Ещё одна типичная ошибка — забывать проверять, подходит ли найденный x по смыслу задачи, ведь длина или сторона квадрата не может быть отрицательной.

Что запомнить и как двигаться дальше

Соберём главное. График функции y = x² — парабола с вершиной в точке (0; 0), ветвями вверх и осью симметрии Oy. Область определения — все числа, область значений — y ≥ 0. Функция чётная, убывает при x ≤ 0 и возрастает при x ≥ 0. Значение y = 0 достигается только при x = 0.

Алгоритм решения задач прост: подставь известное число в формулу, аккуратно возведи его в квадрат, а если неизвестен x — реши уравнение вида x² = c и не забудь про оба знака. Проверяй ответ по графику: точка должна лежать на кривой, а значение y — быть неотрицательным.

Чтобы тема закрепилась, нужна практика, а не перечитывание теории. Зарегистрируйся, зайди в личный кабинет и реши 5 заданий бесплатно — с проверкой и подсказками. Так ты увидишь свои слабые места и быстро их закроешь.

Дальше по программе 8 класса идут y = x² + c, y = (x − m)² и y = ax² + bx + c. Все они получаются сдвигом или растяжением знакомой параболы, поэтому база, разобранная выше, пригодится постоянно.