Просто УрокЗадание 11 ЕГЭ по математике (база): как решать
Задание 11 в базовом ЕГЭ — это текстовая задача: движение по прямой, движение по реке или работа. Никакой высшей математики здесь нет, но балл теряют из-за невнимательного чтения и спешки в арифметике. Разбираем формулы, пошаговые примеры и типичные ловушки.
Что проверяет задание 11
В задании 11 базового ЕГЭ встречаются три сюжета: движение по прямой, движение по реке и работа. Данные обычно удобные, а ответ получается целым числом или конечной десятичной дробью.
Каждое задание базового ЕГЭ оценивается в один первичный балл, поэтому текстовые задачи выгодно доводить до автоматизма. Сложность здесь не в математике, а в дисциплине: правильно перевести единицы, не перепутать скорости и вовремя остановиться в вычислениях. Схема решения всегда одна: ввести величины, записать формулу, подставить данные, посчитать и проверить ответ на здравый смысл.
Формулы движения
Основная формула связывает путь, скорость и время:
s = v · t, где s — путь, v — скорость, t — время
Из неё следуют ещё две: v = s / t и t = s / v. Прежде чем подставлять числа, приведи единицы к одному виду: скорость — в километрах в час, время — в часах. Если время дано в минутах, раздели его на 60.
Три случая, которые встречаются чаще всего:
навстречу: v сближения = v1 + v2; вдогонку: v1 − v2
по течению: v + u; против течения: v − u, где u — скорость течения
При встречном движении объекты сближаются со скоростью суммы, при погоне разрыв сокращается со скоростью разности, а река либо помогает, либо мешает.
Пример: встречное движение
Задача: из двух городов одновременно навстречу выехали два автомобиля — со скоростями 70 км/ч и 50 км/ч. Они встретились через 3 часа. Найди расстояние между городами.
- Автомобили едут навстречу, значит сближаются со скоростью 70 + 50 = 120 км/ч.
- Время до встречи — 3 часа.
- Суммарный путь: 120 · 3 = 360 км.
- Ответ: 360.
Проверка: первый проехал 70 · 3 = 210 км, второй — 50 · 3 = 150 км, вместе 360 км. Сходится. Если дан путь и спрашивается время, действуй так же, но делением.
Перед подстановкой выпиши единицы каждой величины и приведи их к одному виду. Большинство ошибок в задании 11 — это не сложная математика, а минуты, принятые за часы.
Задачи на работу
В задачах на работу фигурируют три величины: объём работы A, производительность p (сколько работы выполняется за единицу времени) и время t. Связаны они формулой:
\( A = p \cdot t \)
Если объём работы не задан, удобно принять его за единицу. Тогда производительность — это доля работы за час: труба наполняет бассейн за 6 часов, значит за час она выполняет 1/6 работы.
Главный принцип совместной работы: производительности складываются — за час двое выполняют p1 + p2 доли:
t вместе = A / (p1 + p2)
Пример: совместная работа
Задача: первая труба наполняет бассейн за 6 часов, вторая — за 3 часа. За сколько часов они наполнят бассейн, работая одновременно?
- Принимаем весь бассейн за 1.
- Производительность первой трубы — 1/6 бассейна в час, второй — 1/3.
- Вместе: 1/6 + 1/3 = 1/6 + 2/6 = 1/2 бассейна в час.
- Время: 1 / (1/2) = 2 часа.
- Ответ: 2.
Вместе трубы наполняют бассейн быстрее, чем каждая по отдельности, поэтому ответ обязан быть меньше 3. Такая прикидка мгновенно ловит частую ошибку со сложением времён «6 + 3 = 9».
В задачах на работу делай мини-таблицу: работа, производительность, время — по строке на каждого исполнителя. Таблица дисциплинирует: сразу видно, что складывать можно только производительности, а не времена.
Потренируй задание 11
В тренажёре ЕГЭ выбери базу и нужное задание, получи короткую теорию и серии задач — от простых до экзаменационных. Регистрация занимает минуту и ничего не стоит.
Типичные ошибки
Балл в задании 11 чаще всего теряют по трём причинам.
Первая — единицы: минуты и часы, метры и километры. Перед вычислением приведи всё к одним единицам. Вторая — невнимательное чтение вопроса: задача может дать всё для расстояния, но спросить время. Перечитай вопрос и убедись, что отвечаешь именно на него.
Третья — в задачах на работу нельзя складывать времена: складываются производительности, а время совместной работы всегда меньше, чем у самого быстрого исполнителя. И если ответ получился бессмысленным — отрицательным временем или дробным числом деталей — где-то ошибка.
Текстовые задачи — сквозная тема: они же встречаются и в профильном ЕГЭ, только с бо́льшими числами. Чтобы закрепить задание 11, решай его сериями: сначала только движение, потом только работа, потом вперемешку. Дальше по теме помогут разбор задач на совместную работу и профильный аналог задания 11, а следующий шаг — задание 12 базового ЕГЭ про выбор оптимального варианта.
Формулы движения и принцип «работа = производительность × время» — весь каркас задания. А если хочется, чтобы рядом был человек, который спокойно всё объяснит и проверит, — приходи в Просто Урок: короткая теория, тренировка и ответы на вопросы.
Готовишься к экзаменам — не оставайся один
Задавай вопросы репетитору в любой момент, тренируй нужные номера и следи за прогрессом в личном кабинете. Бесплатно, в браузере, без установки.
Частые вопросы
Что проверяет задание 11 базового ЕГЭ?
Умение решать текстовые задачи: на движение по прямой, движение по реке и на работу. Формулы простые, данные удобные, а ответ — целое число или конечная десятичная дробь.
Какие формулы нужны для задач на движение?
Основная — s = v · t. При встречном движении скорости складываются, при погоне — вычитаются, а по реке прибавляется или вычитается скорость течения. Главное — согласовать единицы.
Как решать задачи на совместную работу?
Прими весь объём за единицу, найди производительность каждого исполнителя — долю работы за час, сложи их и раздели объём на сумму. Время совместной работы всегда меньше времени самого быстрого.
Как быстро проверить ответ в задании 11?
Прикидкой и обратной подстановкой: сложи пути двух участников, умножь скорость на время ещё раз, оцени, больше или меньше ожидаемого получился ответ. Десять секунд — и грубая ошибка поймана.