Как строить графики функций со сдвигом: задачи с решениями и ответами

Почему графики «съезжают» и как перестать это путать

Ты уверенно строишь параболу y = x², гиперболу y = 6/x и прямую y = 2x. Но в контрольной появляется y = (x − 3)² + 2 — и рука замирает над листом: куда двигать, на сколько клеток, в какую сторону? Знакомая боль и для школьника, и для родителя, который вечером проверяет тетрадь.

Хорошая новость: сдвиги — это не новая тема, а надстройка над тем, что ты уже умеешь. Достаточно различать «плюс снаружи» и «число внутри» скобок — и любой график строится за минуту, без таблицы на двадцать точек.

База, на которую мы накладываем сдвиги: y = x², y = x³, y = |x|, y = √x, y = k/x. Если гипербола пока даётся тяжело, сначала загляни в разбор рациональных дробей — там подробно про k/x и её свойства.

Дальше разберём вертикальные и горизонтальные сдвиги, комбинации, типичные ошибки со знаками и решим задачи с ответами. А проверить себя сразу можно в личном кабинете — там открыта бесплатная практика с автопроверкой.

Вертикальный сдвиг: y = f(x) + n

Правило короткое: число, прибавленное ко всей функции, поднимает график на n единиц вверх при n > 0 и опускает на |n| вниз при n < 0. Форма при этом не меняется — «съезжает» только высота.

y = x² → вершина в точке (0; 0)
y = x² + 3 → вершина в (0; 3), ветви вверх
y = x² − 5 → вершина в (0; −5), ветви вверх
y = |x| + 1 → «галочка» поднята на 1 клетку
y = √x − 2 → начало графика в точке (0; −2)

Проверка на пальцах: следи за одной точкой. У y = x² при x = 0 было y = 0, у y = x² + 3 стало y = 3. Каждая точка уехала на 3 клетки вверх — значит, и весь график тоже.

Ошибка: считать, что y = x² + 3 — «парабола пошире». Ширина зависит от коэффициента перед x², а слагаемое после него отвечает только за высоту.

Горизонтальный сдвиг: y = f(x − m)

Здесь главная путаница. Число m стоит рядом с иксом, но двигает график в противоположную сторону: y = f(x − 3) — сдвиг вправо на 3, а y = f(x + 3) = f(x − (−3)) — влево на 3.

y = (x − 4)² → вершина (4; 0), вправо на 4
y = (x + 2)² → вершина (−2; 0), влево на 2
y = √(x − 1) → начало в точке (1; 0), вправо на 1
y = 1/(x + 5) → вертикальная асимптота x = −5

Почему так? Чтобы у параболы y = (x − 4)² получилось прежнее нулевое значение y = 0, нужно взять x = 4, а не x = 0. Значит, «нулевая» точка уехала вправо, и весь график — вместе с ней.

Типичная ошибка: нарисовать y = (x − 4)² как сдвиг влево, потому что «стоит минус». Минус внутри скобки всегда читается наоборот, и это стоит проверить подстановкой одной точки.

Комбинированные сдвиги и порядок действий

Если в формуле есть и «внутри», и «снаружи», делай два шага по очереди: сначала горизонтальный сдвиг, потом вертикальный. Результат от порядка не зависит, но так меньше шансов запутаться в знаках.

y = (x − 2)² + 3 → вправо на 2, вверх на 3
y = √(x + 1) − 4 → влево на 1, вниз на 4
y = 6/(x − 3) + 2 → асимптоты x = 3 и y = 2
y = −(x + 1)² − 5 → влево на 1, вниз на 5, ветви вниз

Отдельно запомни: минус перед всей функцией — это не сдвиг, а отражение относительно оси Ox. А коэффициент, например 2 в записи y = 2(x − 1)², — растяжение по вертикали, а не смещение.

Ошибка: складывать сдвиги «в кучу» и говорить «функция сдвинулась по диагонали». График едет отдельно по каждой оси, и на клетчатом листе это видно сразу. Если хочешь потренировать такие задания в формате экзамена, посмотри разбор заданий с графиками и таблицами.

Задачи с решениями и ответами

Разберём одну задачу полностью, а потом — короткая таблица для самопроверки. Считать ничего не нужно, достаточно аккуратно применить два правила.

Задача. Построй график y = (x + 1)² − 4, укажи вершину, ось симметрии и нули.
Шаг 1. База: y = x², вершина в точке (0; 0).
Шаг 2. Внутри скобок x + 1 = x − (−1) → сдвиг влево на 1.
Шаг 3. Снаружи − 4 → сдвиг вниз на 4.
Шаг 4. Вершина: (0 − 1; 0 − 4) = (−1; −4).
Шаг 5. Ось симметрии: x = −1.
Шаг 6. Нули: (x + 1)² = 4 → x + 1 = 2 или x + 1 = −2 → x = 1 и x = −3.
Ответ: вершина (−1; −4), ось x = −1, нули в точках −3 и 1.

Ошибка в задачах этого типа одна и та же: ученик находит вершину верно, а нули считает по старой формуле, забывая, что график уже переехал. Всегда подставляй y = 0 в новую запись, а не в базовую.

Что запомнить

Итог в четырёх строках. Прибавка снаружи (y = f(x) + n) двигает график вверх или вниз по тому же знаку. Число внутри скобок (y = f(x − m)) двигает вправо при минусе и влево при плюсе. Минус перед функцией — отражение, коэффициент — растяжение. Комбинация читается по шагам: сначала по горизонтали, потом по вертикали.

Проверка универсальна: возьми одну удобную точку, посчитай её новое положение и убедись, что весь график сместился так же. Это снимает 90 % ошибок со знаками на контрольной и в заданиях с графиками и таблицами.

Чтобы тема закрепилась, мало прочитать разбор — нужна короткая серия однотипных заданий. Зарегистрируйся в личном кабинете «Просто Урок» и реши 5 заданий на сдвиги бесплатно: система сразу покажет, где ты ошибся, и подскажет шаг, который стоит повторить.