Линейные неравенства с одной переменной

Что такое линейное неравенство с одной переменной

Ты уверенно решаешь линейные уравнения, но в контрольной появляется неравенство — и привычная схема будто ломается: знак вдруг меняется на противоположный, а вместо одного числа в ответе целый промежуток. Обидно терять балл из-за мелочи. Хорошая новость: линейные неравенства с одной переменной решаются почти так же, как уравнения, — нужно лишь запомнить три свойства и одно правило про минус. Ниже — пошаговый разбор, полный пример и ошибки, которые встречаются чаще всего.

Линейное неравенство с одной переменной — это неравенство, которое можно привести к виду ax > b, ax < b, ax ≥ b или ax ≤ b, где a и b — числа, а x — переменная. Переменная входит только в первой степени и не стоит в знаменателе. Решением называют такое значение x, при котором неравенство превращается в верное числовое.

3x − 7 < 8 — линейное;
−2x + 5 ≥ 1 — линейное;
x² > 9 — не линейное, вторая степень;
1 ÷ x < 2 — не линейное, x в знаменателе

Свойства, на которых держится решение

Все преобразования неравенства опираются на три свойства. Первое: любое слагаемое можно перенести из одной части в другую, изменив его знак на противоположный. Второе: обе части можно умножить или разделить на одно и то же положительное число — знак неравенства сохраняется. Третье: при умножении или делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.

x + 4 > 10 → x > 10 − 4 → x > 6
3x < 12 → x < 12 ÷ 3 → x < 4
−3x < 12 → x > 12 ÷ (−3) → x > −4

Третье свойство — единственное, где ответ меняется принципиально, и именно на нём чаще всего теряются баллы. Свойства работают и в обратную сторону: можно раскрывать скобки и приводить подобные слагаемые, главное делать это одинаково в левой и правой части.

Алгоритм решения: разбираем пример полностью

Алгоритм состоит из четырёх шагов. Раскрой скобки и избавься от дробей. Приведи подобные слагаемые в каждой части. Собери слагаемые с переменной в одной части, а числа — в другой. Раздели обе части на коэффициент при x и запиши ответ.

5(x − 2) − 3x ≥ 4x + 6
5x − 10 − 3x ≥ 4x + 6
2x − 10 ≥ 4x + 6
2x − 4x ≥ 6 + 10
−2x ≥ 16
x ≤ 16 ÷ (−2)
x ≤ −8

Ответ: x ≤ −8, то есть промежуток (−∞; −8]. Делили на −2, поэтому знак ≥ заменили на ≤. Проверить себя просто: подставь любое число меньше −8, например −10, и убедись, что неравенство верное.

Хочешь проверить, насколько уверенно ты выполняешь каждый шаг? В личном кабинете доступна бесплатная практика с автоматической проверкой ответов.

Ответ на координатной прямой

Ответ линейного неравенства — числовой промежуток, и наглядно его показывает координатная прямая. Строгие неравенства < и > отмечают выколотой точкой и круглой скобкой, нестрогие ≤ и ≥ — закрашенной точкой и квадратной скобкой. Штриховка идёт в сторону, где неравенство выполняется.

x > 3 → луч (3; +∞), точка выколота;
x ≤ −8 → луч (−∞; −8], точка закрашена;
−1 < x ≤ 4 → отрезок (−1; 4]

Знак ∞ читается как «бесконечность» и всегда идёт с круглой скобкой. Если решение — объединение двух лучей, в ответе пишут, например, (−∞; −2) ∪ (5; +∞).

Подробнее про расстановку точек и штриховку читай в статье «Координатная прямая».

Типичные ошибки

Большинство ошибок в этой теме — не про математику, а про невнимательность. В таблице собраны три самых частых промаха.

Отдельный случай: если коэффициенты при x одинаковы, переменная исчезает. Неравенство 7x − 4 > 7x + 2 даёт 0 > 6 — ложное высказывание, значит решений нет. А 7x − 4 < 7x + 2 даёт 0 < 6 — верное, значит x — любое число.

На экзамене линейные неравенства становятся частью более сложных заданий: полезно посмотреть разбор задания 16 ЕГЭ по математике, чтобы увидеть, как базовый навык работает в большой задаче.

Что запомнить

Коротко о главном. Линейное неравенство приводится к виду ax > b, ax < b, ax ≥ b или ax ≤ b. Слагаемые переносятся со сменой знака. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный. Ответ записывается промежутком, а строгая и нестрогая границы отличаются точкой и видом скобки.

Проверяй ответ двумя способами: на координатной прямой и подстановкой удобного числа. Это дешёвая страховка от потери балла, и она занимает меньше минуты.

Следующий шаг простой: зарегистрируйся и реши 5 заданий бесплатно в личном кабинете — с автопроверкой и разбором ошибок. Дальше можно переходить к системам и квадратным неравенствам: там пригодится всё, что ты разобрал выше.