Модуль числа в уравнениях и неравенствах: задачи с решениями и ответами

Модуль числа: смысл и главное правило

Модуль часто кажется школьнику отдельным сложным знаком, хотя это всего лишь расстояние от числа до нуля. Если научиться видеть два возможных случая, уравнения перестанут пугать. Ниже разберём понятный алгоритм, типичные ошибки и задачи для самостоятельной отработки.

Модуль числа обозначают вертикальными чертами: |a|. Расстояние не бывает отрицательным, поэтому |a| ≥ 0. Для положительного числа модуль равен самому числу, для отрицательного — противоположному числу, а |0| = 0.

|7| = 7
|−7| = 7
|x| = 5 → x = 5 или x = −5

Последняя строка — ключ к большинству задач. Если модуль равен положительному числу, внутри него могут находиться два числа. Если справа стоит ноль, решение одно: выражение внутри равно нулю. Если справа отрицательное число, решений нет.

Пример: |x − 3| = 4. Расстояние от x до числа 3 равно 4, значит x находится справа или слева: x = 7 либо x = −1.

Типичная ошибка — писать только x = 7 и забывать вторую точку. Проверь оба значения подстановкой. Для дополнительной тренировки можно открыть бесплатную практику в личном кабинете.

Линейное уравнение с одним модулем

Рассмотрим уравнение |2x − 1| = 7. Сначала важно не раскрывать модуль механически, а записать два случая. Выражение 2x − 1 может быть равно 7 или −7. Затем каждое обычное линейное уравнение решается отдельно.

|2x − 1| = 7
2x − 1 = 7 или 2x − 1 = −7
2x = 8 или 2x = −6
x = 4 или x = −3
Ответ: −3; 4

Проверка короткая: |2 · 4 − 1| = 7 и |2 · (−3) − 1| = 7. Оба значения подходят. Если перед модулем есть коэффициент, сначала можно разделить обе части на него, но только учитывая, что коэффициент не равен нулю.

Пример: 3|x + 2| = 12. Делим на 3: |x + 2| = 4. Тогда x + 2 = 4 или x + 2 = −4, откуда x = 2 или x = −6.

Частая ошибка — менять знак только у x, но не у всей скобки. Правильно: x + 2 = −4, а не x − 2 = −4. В сложных примерах полезно сверять результат обратной подстановкой.

Когда решений нет или решение одно

Перед раскрытием модуля всегда посмотри на правую часть. Уравнение |3x + 2| = −5 невозможно: модуль не может быть отрицательным. Уравнение |3x + 2| = 0, наоборот, имеет один корень, потому что выражение в модуле должно равняться нулю.

|3x + 2| = −5
Решений нет

|3x + 2| = 0
3x + 2 = 0
x = −⅔

Теперь пример с преобразованием: |5 − x| = 0. Получаем 5 − x = 0, поэтому x = 5. Обрати внимание: запись «5 − x = 0 или 5 − x = −0» не добавляет нового решения, так как −0 и 0 — одно и то же число.

Удобная таблица помогает быстро выбрать способ.

Ошибка — автоматически писать два корня даже при нуле или отрицательной правой части. Сначала оцени знак, затем выполняй вычисления.

Раскрытие модуля по случаям

Иногда модуль равен не числу, а выражению: |x − 2| = x + 1. Здесь нельзя сразу приравнять внутреннее выражение к правой части и забыть ограничения. Правая часть должна быть неотрицательной, поэтому x + 1 ≥ 0.

Разбираем два случая по знаку выражения x − 2. Если x ≥ 2, то |x − 2| = x − 2, и получаем x − 2 = x + 1 — противоречие. В этой области решений нет.

Если x < 2, то |x − 2| = 2 − x. Тогда 2 − x = x + 1, откуда 1 = 2x и x = ½. Число ½ действительно меньше 2, значит оно подходит.

|x − 2| = x + 1
x ≥ 2: x − 2 = x + 1 → решений нет
x < 2: 2 − x = x + 1 → x = ½
Ответ: x = ½

Пример похожего типа: |x + 4| = 2x. Сначала 2x ≥ 0, то есть x ≥ 0, затем проверяем случаи знака x + 4. Такой порядок защищает от лишних корней.

Типичная ошибка — решить оба линейных уравнения, но не проверить, выполняется ли условие выбранного случая. После каждого корня обязательно сравни его с границей.

Уравнения с двумя модулями и проверка

В уравнении |x − 1| = |x + 3| удобно использовать смысл расстояний. Число x одинаково удалено от 1 и −3, значит оно находится ровно посередине этих точек: x = −1.

|x − 1| = |x + 3|
x − 1 = x + 3 — невозможно
x − 1 = −x − 3
2x = −2
x = −1

Алгебраический способ даёт два случая: выражения равны или противоположны. Первый случай приводит к противоречию, второй — к корню. Проверка: |−1 − 1| = 2 и |−1 + 3| = 2.

Пример: |2x − 4| = |x + 2|. Получаем 2x − 4 = x + 2 или 2x − 4 = −x − 2. Отсюда x = 6 или x = ⅔. Оба корня нужно проверить.

Если модулей больше, точки смены знака делят числовую прямую на промежутки. На каждом промежутке модули раскрываются без черт, после чего решается обычное уравнение.

Ловушка — возводить обе части в квадрат без последующей проверки. Такой приём иногда допустим, но он легко маскирует вычислительную ошибку. Надёжнее сохранять структуру случаев.

Тематическая связь с геометрией хорошо видна через расстояния: свойства фигур можно повторить в материале о равнобедренном треугольнике.

Что запомнить

Модуль — это расстояние, поэтому он не бывает отрицательным. Для |A| = b при b > 0 записываем A = b или A = −b. При b = 0 решаем A = 0, а при b < 0 решений нет.

Если справа стоит выражение, сначала учитывай его знак и раскрывай модуль по случаям. Для каждого найденного значения проверяй исходное уравнение. В задачах с двумя модулями помогают равенство выражений и их противоположность.

Мини-пример: |x − 6| = 3 → x − 6 = 3 или x − 6 = −3 → x = 9 или x = 3. Ошибка — оставить только 9.

Полезно решать задания сериями: сначала простые уравнения, затем случаи с ограничениями и двумя модулями. Для системной отработки зарегистрируйся в личном кабинете и реши 5 заданий бесплатно.

Если готовишься к экзамену, похожая привычка разбивать задачу на шаги пригодится и в задании 19 профильного ЕГЭ. Главное — не угадывать ответ, а каждый раз объяснять, почему он подходит.