Задание 19 ЕГЭ по математике (профиль): как решать

Что это за задание

Задание 19 — последнее в профильном ЕГЭ и по стилю ближе к олимпиадным задачам, чем к школьным номерам. Обычно в нём три пункта: в «а» нужно привести пример, в «б» — доказать утверждение, в «в» — найти наибольшее или наименьшее значение либо все возможные значения. Школьных формул здесь почти нет: работают делимость, остатки, чётность и аккуратная логика.

Хорошая новость: пункт с примером часто решается системным перебором, и это уже часть баллов. Инструментарий небольшой: деление с остатком, НОД и НОК, чётность, последняя цифра степеней — с ней можно познакомиться в статье про степени с целым показателем.

Делимость и остатки

Ключевая идея всей темы: при делении на m любое целое число даёт один из остатков 0, 1, …, m − 1. Поэтому вместо бесконечного перебора чисел перебирают конечный набор остатков.

N = m · k + r, где r — остаток, 0 ≤ r ≤ m − 1

Если число при делении на 4 и на 5 даёт один и тот же остаток 1, то N − 1 делится и на 4, и на 5, а значит, и на их произведение 20 — числа 4 и 5 взаимно просты. Такие «склейки» условий резко сокращают перебор. Полезно помнить и мелкие факты: сумма двух нечётных чисел чётна, чётность суммы определяется количеством нечётных слагаемых, а последняя цифра степени подчиняется циклу.

Шаг за шагом: разбор примера

Типовая задача пункта «а»: найдите какое-нибудь трёхзначное натуральное число, которое при делении на 4 и на 5 даёт остаток 1 и при этом делится нацело на 9.

1. N даёт остаток 1 при делении на 4 и на 5, значит N − 1 делится на 20: N = 20k + 1.
2. Трёхзначные кандидаты: 101, 121, 141, 161, … — вместо девятисот чисел осталось около сорока пяти.
3. Добавляем делимость на 9: число 20k + 1 делится на 9. Перебираем k по остаткам: это k = 4, 13, 22, 31, 40, 49 — разница между соседними равна 9.
4. Берём k = 13: N = 20 · 13 + 1 = 261.
5. Проверка: 261 = 4 · 65 + 1; 261 = 5 · 52 + 1; 261 = 9 · 29. Все условия выполнены.

N = 20k + 1, N делится на 9 → k = 13, N = 261

Ответ: например, 261 (также подходят 441, 621, 801 и 981). Финальная проверка обязательна: эксперт должен увидеть, что число удовлетворяет всем условиям сразу. Пример без проверки — типичная потерянная мелочь.

Оценка плюс пример

Пункт «в» почти всегда решается методом «оценка плюс пример». Сначала доказывают оценку: например, что искомая величина не превышает некоторого числа при любых допустимых значениях. Потом предъявляют конкретный пример, в котором оценка достигается. Два шага вместе закрывают задачу: оценка показывает «не больше», пример показывает «можно».

Логика симметрична и для наименьшего значения: оценка «не меньше» плюс пример достижения. Ошибка новичка — остановиться на половине: пример без оценки не доказывает максимальность, а оценка без примера не доказывает достижимость.

Как оформить и за что снимают баллы

Пункты а, б и в оцениваются по критериям отдельно, поэтому частичное решение приносит баллы. Чаще всего снимают за:

1. Пример приведён, но не проверен по всем условиям задачи.
2. Перебор выполнен «в уме» и не показан: непонятно, что случаи исчерпаны.
3. «Очевидные» факты использованы без обоснования — в доказательствах это не работает.
4. Оценка есть, а примера нет, или наоборот — пункт «в» не закрыт.
5. Ответ не соответствует вопросу: просят все значения, а указано одно.

Задание 19 — про мышление, а мышление тренируется: регулярный перебор по остаткам и дисциплина «оценка плюс пример» быстро дают результат. Начинай с пункта «а» в каждом варианте — это разумный минимум второй части. По соседним номерам читай планиметрию в задании 17 и задачу с параметром в задании 18, а как первичные баллы превращаются в итоговые — в статье про перевод первичных баллов во вторичные. И помни: рядом всегда есть Просто Урок, где любую тему объяснят спокойно и по шагам.