Системы неравенств: как решать и записывать ответ: задачи с решениями и ответами

Что такое система неравенств

Если в задаче встречаются сразу два или несколько неравенств, важно не решать их по отдельности без проверки пересечения. Система требует найти такие значения переменной, которые подходят каждому условию одновременно. Разберём понятный алгоритм, научимся отмечать решения на прямой и правильно записывать ответ.

Систему объединяют фигурной скобкой. Сначала решают каждое неравенство, затем находят общую часть полученных промежутков. Именно она и будет ответом.

x ≥ 2
x < 6
Ответ: x ∈ [2; 6)

Число 2 входит в ответ, потому что стоит знак ≥, поэтому точка закрашенная. Число 6 не входит: знак строгий, значит точка пустая.

Типичная ошибка — записать объединение промежутков вместо пересечения. Для системы нужен участок, где выполняются все условия сразу. Полезно дополнительно подставить любое число из найденного промежутка в оба неравенства.

Если хочется потренироваться на задачах разных форматов, загляни в личный кабинет с бесплатной практикой. А задания, где требуется внимательная работа с условиями, встречаются и в материале про задание 12 ЕГЭ.

Алгоритм решения по шагам

Удобный план состоит из четырёх действий. Раскрой скобки и приведи подобные слагаемые. Перенеси слагаемые с переменной в одну сторону, числа — в другую. Если делишь или умножаешь на отрицательное число, поменяй знак неравенства. Затем изобрази решения на одной координатной прямой.

2x − 5 ≥ 7
2x ≥ 12
x ≥ 6
−x + 4 > 1
−x > −3
x < 3
Ответ: x ∈ [6; 3) = ∅

В этом примере пересечения нет: одно условие требует x не меньше 6, другое — меньше 3. Значит, система решений не имеет, и ответ записывают как ∅.

Частая ошибка — забыть перевернуть знак в строке −x > −3. Умножение на −1 даёт x < 3, а не x > 3.

Линейные системы и запись ответа

В линейной системе переменная находится только в первой степени, без корней и квадратов. После решения каждого условия удобно сравнить границы. Если промежутки пересекаются, оставь более узкую общую часть.

3x + 2 ≤ 14
3x ≤ 12
x ≤ 4
x + 1 > −2
x > −3
Ответ: x ∈ (−3; 4]

На прямой у −3 будет пустая точка и луч вправо, а у 4 — закрашенная точка и луч влево. Общий участок расположен между ними. Скобки в записи ответа повторяют вид точек на рисунке.

Типичная ошибка — поставить квадратную скобку возле бесконечности. Число ∞ не является обычным числом, поэтому рядом с −∞ и +∞ всегда используют круглую скобку.

Для закрепления можно открыть бесплатную практику и сразу решить несколько похожих систем, сверяя не только число, но и оформление промежутка.

Системы с квадратными неравенствами

Если появляется x², сначала решают каждое квадратное неравенство отдельно. Можно разложить выражение на множители и использовать метод интервалов. Найди корни, отметь их на прямой, определи знаки на промежутках, а затем пересеки ответы всех строк системы.

x² − 5x + 6 ≤ 0
(x − 2)(x − 3) ≤ 0
x ∈ [2; 3]

Произведение двух линейных множителей неположительно между корнями, включая сами корни. Если второе условие даёт x > 1, пересечение останется [2; 3]. Если оно даёт x > 4, общих решений уже нет.

Корни квадратного трёхчлена можно найти разложением или по дискриминанту. При знаке ≤ корни включают, если выражение в них равно нулю. При строгом знаке < корни исключают.

Типичная ошибка — взять промежуток снаружи корней для выражения, которое должно быть меньше нуля. Проверяй знак одной контрольной точкой, например x = 0 или x = 4.

Объёмные задачи тоже требуют аккуратного пересечения условий; полезный пример есть в статье про объём куба и параллелепипеда.

Типичные ошибки и задачи с текстом

В текстовой задаче сначала обозначь неизвестную величину буквой и укажи её смысл. Затем переведи слова «не меньше», «не больше», «больше», «меньше» в знаки ≥, ≤, >, <. После решения не забудь проверить область допустимых значений: длина, время и количество предметов не могут быть отрицательными.

Пусть x — число страниц в день.
x ≥ 12
5x ≤ 80
Ответ: 12 ≤ x ≤ 16

Такой результат означает: ученик должен читать от 12 до 16 страниц в день, чтобы выполнить минимум и не превысить общий объём. Если требуется целое число, ответ остаётся набором целых значений этого промежутка.

Ещё одна ошибка — ответить дробным количеством предметов, когда по смыслу нужны целые значения. В конце прочитай ответ словами: он должен соответствовать условию, а не только алгебраическим преобразованиям.

Для самостоятельной проверки используй личный кабинет: там удобно возвращаться к ошибочным шагам и повторять именно трудный тип задач.

Что запомнить

Система означает одновременное выполнение всех условий. Решай строки по очереди, внимательно меняй знак при делении на отрицательное число, изображай промежутки на одной прямой и находи их пересечение.

Закрашенная точка соответствует ≥ или ≤, пустая — > или <. Бесконечность записывают только с круглой скобкой. Если пересечения нет, ответ ∅. В текстовой задаче обязательно учитывай смысл переменной и допустимые значения.

Система → решения отдельных неравенств → пересечение промежутков → проверка ответа

Например, ответы x ≥ 1 и x < 5 дают x ∈ [1; 5), а ответы x ≤ 0 и x > 2 дают ∅. Это помогает быстро проверить рисунок и запись.

Если хочешь перейти от разбора к отработке, зарегистрируйся, реши 5 заданий бесплатно и сравни свои шаги с подсказками. Так правило закрепится не только в памяти, но и в действии.