Сложение и умножение числовых неравенств: задачи с решениями и ответами

Почему правила неравенств лучше разобрать один раз

Знакомая ситуация: правила прочитаны, а на контрольной в примере с двумя неравенствами ответ получается неверным. Дело не в лени — свойства неравенств бесполезно зазубривать, их нужно проговорить на конкретных числах. Ниже — пошаговый разбор сложения и умножения числовых неравенств, разобранные задачи и ответы для самопроверки.

Числовое неравенство — это утверждение вида a < b, a > b, a ≤ b или a ≥ b. Например: 3 < 7, −9 > −12, 0,5 ≥ ¼. Помни, что на числовой прямой меньшее число всегда лежит левее, а большее — правее.

Если a < b и c < d → a + c < b + d
Если a < b и k > 0 → ak < bk
Если a < b и k < 0 → ak > bk

Проверим: 4 < 6 и 1 < 3 → 5 < 9. Умножим 4 < 6 на 3 → 12 < 18. Умножим то же неравенство на −2 → −8 > −12: знак развернулся. Именно этот разворот даёт больше всего ошибок в 8 классе. Сложение знак не меняет никогда, а умножение на отрицательное число меняет всегда — это два разных действия с разными правилами.

Сложение неравенств почленно

Складывать неравенства можно только тогда, когда их знаки «смотрят» в одну сторону. Если a < b и c < d, то a + c < b + d. Левая часть складывается с левой, правая с правой — то есть почленно.

2 < x < 5 и 1 < y < 3 → 2 + 1 < x + y < 5 + 3 → 3 < x + y < 8
7 ≤ x ≤ 9 и −2 ≤ y ≤ 1 → 5 ≤ x + y ≤ 10

Нестрогие знаки (≤, ≥) ведут себя точно так же, только на границах сохраняется «равно». Оценки удобно складывать: если известны границы двух величин, границы суммы получаются автоматически, без вычисления самих величин.

Типичная ошибка — почленно складывать неравенства разных знаков: a < b и c > d. Так делать нельзя. Второе неравенство сначала переворачивают, умножая на −1, приводят к виду −c < −d и только после этого складывают. Если действия с числами подзабылись, поможет материал про сложение и вычитание столбиком.

Умножение неравенства на число и на неравенство

Умножение на число — самое коварное место темы. Если k > 0, знак сохраняется: 5 < 8 → 5k < 8k. Если k < 0, знак меняется на противоположный: 5 < 8, но −5 > −8. Делить можно на любое число, кроме нуля, по тем же правилам, ведь деление — это умножение на обратное число.

Почленное умножение корректно, когда обе части неравенств положительны: 3 < x < 5 и 2 < y < 4 → 6 < xy < 20. Если среди чисел есть отрицательные, сначала оценивают модули, а затем расставляют знаки.

Задачи с решениями и ответами

Разберём полный пример. Дано: 4 < a < 7 и 2 < b < 3. Найди оценки для a + b, a − b, ab и a ÷ b.

1) Сложение: 4 + 2 < a + b < 7 + 3 → 6 < a + b < 10
2) Разность: −b лежит между −3 и −2, значит 4 − 3 < a − b < 7 − 2 → 1 < a − b < 5
3) Произведение: числа положительны → 4 · 2 < ab < 7 · 3 → 8 < ab < 21
4) Частное: 4 ÷ 3 < a ÷ b < 7 ÷ 2 → 1⅓ < a ÷ b < 3,5

Обрати внимание на пункт 2: вычитания неравенств не существует, мы заменили его сложением с противоположным числом. В пункте 3 сработало правило почленного умножения — оно допустимо, потому что все границы положительны.

Второй пример посложнее: −5 < x < −3 и 2 < y < 4. Тогда xy лежит между −20 и −6, то есть −20 < xy < −6: крайние значения дают числа с разными знаками. Похожие по логике задания встречаются в задании 23 ОГЭ по математике.

Типичные ошибки восьмиклассников

Первая ошибка — почленное вычитание. Из 8 < 10 и 3 < 5 нельзя «вычесть» и получить 5 < 5. Второе неравенство переворачивают: −5 < −3, и только потом складывают: 3 < 7. Такой путь всегда корректен.

Вторая ошибка — забытый разворот знака при умножении на отрицательное число. Проверь себя на числах: если сомневаешься, подставь простые значения вместо букв и посмотри, куда смотрит знак.

Третья ошибка — почленное умножение неравенств, где есть отрицательные части. Для −5 < x < −3 и 2 < y < 4 «в лоб» перемножать границы нельзя, получишь неверный интервал.

Четвёртая ошибка — потеря нестрогого знака: там, где было ≤, ученик пишет < и теряет граничное значение. Аккуратно переноси знак из условия в ответ, особенно в задачах на оценки.

Что запомнить

Главное правило сложения: неравенства одного знака складываются почленно, знак при этом сохраняется. Главное правило умножения: положительный множитель знак сохраняет, отрицательный — переворачивает. Вычитание неравенств заменяют сложением с противоположным числом, а почленное умножение проводят только для положительных частей.

Проверяй себя на числах: подставь вместо букв простые значения и посмотри, выполняется ли полученное неравенство. Этот приём спасает на контрольных и в заданиях с параметром.

Дальше — только практика. Зарегистрируйся, открой личный кабинет и реши 5 заданий бесплатно: короткая серия упражнений на сложение и умножение неравенств закрепит тему лучше, чем перечитывание теории. Ошибаться на тренировке нормально — именно там и запоминается разворот знака.