Степень с целым показателем и её свойства: задачи с решениями и ответами

Степень с целым показателем: определение

Знакомая ситуация: в 7 классе ты уверенно считал 2⁵ = 32, а в 8 классе в тетради появляется 2⁻³ — и рука замирает над ответом. Кажется, что минус в показателе «ломает» всё, что ты знал. На самом деле правило здесь одно, и после десяти минут разбора такие примеры решаются устно. В этой статье разберём определение, свойства, один полный пример, типичные ошибки и шесть задач с ответами — так, чтобы тема закрылась окончательно.

Начнём с базы. Степень с натуральным показателем — это сокращённая запись умножения: aⁿ = a · a · ... · a, где основание a повторяется n раз. Здесь a — основание, n — показатель. Например, 3⁴ = 3 · 3 · 3 · 3 = 81. Но формулам удобнее работать без исключений, поэтому математики договорились о двух дополнительных случаях.

a⁰ = 1, где a ≠ 0
0⁰ не имеет смысла
a⁻ⁿ = 1 ÷ aⁿ, где a ≠ 0
Пример: 5⁻² = 1 ÷ 5² = 1 ÷ 25 = 0,04
Пример: (2 ÷ 3)⁻¹ = 3 ÷ 2 = 1½

Обрати внимание на главное: отрицательный показатель не делает число отрицательным, он его «переворачивает». 5⁻² — число положительное и очень маленькое. То же самое с дробями: минусовая степень переворачивает дробь, а не меняет её знак.

Свойства степени с целым показателем

Свойства степеней — это не список для зубрёжки, а набор инструментов. Важное условие: при умножении и делении основания должны совпадать, а при возведении в степень в произведение — совпадать показатель. Ниже таблица, которую удобно держать перед глазами на первых порах.

Действие	Формула	Пример
Умножение	aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ	2⁵ · 2⁻³ = 2² = 4
Деление	aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ	3⁻² ÷ 3⁻⁵ = 3³ = 27
Степень в степени	(aᵐ)ⁿ = aᵐ·ⁿ	(5⁻²)³ = 5⁻⁶
Степень произведения	(a · b)ⁿ = aⁿ · bⁿ	(2 · 3)² = 4 · 9 = 36
Степень частного	(a ÷ b)ⁿ = aⁿ ÷ bⁿ	(2 ÷ 5)⁻² = 25 ÷ 4 = 6¼
Нулевой показатель	a⁰ = 1, a ≠ 0	(−7)⁰ = 1

Отдельно проговорим минус: a⁻ⁿ = 1 ÷ aⁿ. Это значит, что при переносе множителя из числителя в знаменатель знак показателя меняется, а само выражение — нет. Типичная ошибка тут — перепутать, что именно «переезжает»: переезжает множитель, а показатель меняет знак на противоположный.

Проверь себя: 6⁻³ · 6⁵ ÷ 6⁴ = 6⁻³⁺⁵⁻⁴ = 6⁻² = 1 ÷ 36. Если хочется закрепить правила на живых примерах с мгновенной проверкой, открой личный кабинет — там тренажёр по степеням идёт по нарастающей сложности.

Разобранный пример: от условия до ответа

Условие: вычисли значение выражения (2⁻³ · 4²) ÷ 8⁻¹. Первый шаг — привести все степени к одному основанию 2. Показатели могут быть любыми, а вот основания обязаны совпасть, иначе свойства не сработают.

4 = 2², 8 = 2³
(2⁻³ · (2²)²) ÷ (2³)⁻¹
= (2⁻³ · 2⁴) ÷ 2⁻³
= 2⁻³⁺⁴ ÷ 2⁻³
= 2¹ ÷ 2⁻³
= 2¹⁻⁽⁻³⁾ = 2¹⁺³
= 2⁴ = 16
Ответ: 16

Обрати внимание на переход 2¹ ÷ 2⁻³: при делении показатели вычитаются, и минус перед скобкой даёт плюс. Многие теряют здесь знак и получают 2⁻², то есть 0,25 вместо 16. Выписывай показатель промежуточной строкой — так ошибка не спрячется.

Если в задании есть переменные, порядок тот же: сначала раскрываем скобки по свойству степени степени, потом группируем одинаковые буквы. Например, (a⁻²b³)² · (a³b⁻¹)⁻¹ = a⁻⁴b⁶ · a⁻³b¹ = a⁻⁷b⁷. Аккуратная запись таких преобразований особенно важна на экзамене — подробности в статье как оформить часть 2 ЕГЭ по математике.

Типичные ошибки: где теряются баллы

Первая и самая частая ошибка — решить, что минус в показателе делает результат отрицательным. 2⁻³ равно ⅛, а не −8. Минус отвечает только за «переворот» дроби, знак самого числа не меняется.

Вторая ошибка — путать (a³)² и a³ · a². В первом случае показатели перемножаются и выходит a⁶, во втором складываются и получается a⁵. Разница в одной цифре, а ответ уже другой. Третья — забытый нулевой показатель: 5⁰ = 1, а не 0 и не 5, при этом 0⁰ смысла не имеет.

Четвёртая ошибка связана со скобками в знаменателе: (2 ÷ 5)⁻² = 25 ÷ 4, а не 2 ÷ 25. Чтобы довести эти правила до автоматизма без скучной зубрёжки, есть короткие тренировки в личном кабинете — по 10–15 минут, с разбором каждого шага.

Задачи с решениями и ответами

Ниже шесть задач разного уровня: от совсем простых до тех, где нужно два свойства подряд. Попробуй сначала решить сам, закрыв ответы, а потом сверься и разбери, где именно споткнулся.

1) 7⁻² · 7⁵ = 7³ = 343
2) 5⁰ + 3⁻¹ = 1 + ⅓ = 1⅓
3) (x⁴)⁻² · x⁷ = x⁻⁸⁺⁷ = x⁻¹ = 1 ÷ x
4) (2 ÷ 5)⁻² = (5 ÷ 2)² = 25 ÷ 4 = 6¼
5) 12a⁻³b⁴ ÷ (4a⁻⁵b²) = 3a²b²
6) (3⁻¹ + 2⁻¹)⁻¹ = (⅓ + ½)⁻¹ = (5 ÷ 6)⁻¹ = 6 ÷ 5 = 1⅕

Разберём задачу 6, она самая коварная. Сначала складываем дроби внутри скобок: ⅓ + ½ = 2⁄6 + 3⁄6 = 5⁄6, и только после этого минусовая степень переворачивает результат. В задаче 5 делим коэффициенты (12 ÷ 4 = 3) и вычитаем показатели по каждой букве отдельно: a⁻³⁻⁽⁻⁵⁾ = a², b⁴⁻² = b².

Задачи такого вида регулярно встречаются и в контрольных, и на экзамене: в задании 8 ЕГЭ профиль степени и корни объединены в одну большую тему, и база из 8 класса там работает напрямую.

Что запомнить и что делать дальше

Выжимка короткая. a⁻ⁿ = 1 ÷ aⁿ — минус переворачивает, но не меняет знак. a⁰ = 1 при любом a ≠ 0. При умножении показатели складываются, при делении вычитаются, при возведении степени в степень перемножаются. Работать это будет только при одинаковых основаниях, поэтому первый шаг почти в любой задаче — разложить числа на простые основания.

Что делать дальше? Возьми шесть задач из этой статьи и реши их через день, не подглядывая в таблицу. Если ответы сошлись без разбора теории — тема закрыта. Если где-то снова потерялся знак, вернись к разделу о типичных ошибках и определи, какое именно правило подвело.

Самый быстрый способ закрепить — практика с проверкой. Зарегистрируйся и реши 5 заданий бесплатно: система покажет, на каком шаге ты ошибся, и подберёт похожие примеры на ту же ловушку.