Задание 8 ЕГЭ по математике (профиль): как решать

Что проверяет задание 8

Все варианты этого задания устроены одинаково: на рисунке изображён график — функции f(x) или её производной f′(x) — и по нему нужно сделать вывод. Типичные вопросы: сколько точек максимума, на каких промежутках функция убывает, чему равно значение производной в точке, в скольких точках касательная параллельна заданной прямой.

Хорошая новость: длинных вычислений тут нет. Задание проверяет понимание, а не технику. Если ты знаешь три правила связи функции и производной и умеешь аккуратно читать рисунок, ответ получается за минуту-полторы. Плохая новость в том, что именно здесь теряют баллы на невнимательности: один неправильный взгляд на подпись оси — и всё решение пошло не туда.

Три правила, которые решают всё

f′(x) > 0 → функция возрастает

f′(x) < 0 → функция убывает

f′(x₀) = k касательной = tg α

Правило первое: где производная положительна, функция растёт, а где отрицательна — падает. Максимум — это точка, где производная меняет знак с плюса на минус: рост сменился падением. Минимум — наоборот, переход с минуса на плюс: падение закончилось подъёмом.

Третье правило — геометрический смысл: значение производной в точке равно угловому коэффициенту касательной в этой точке, то есть тангенсу угла её наклона. Касательная идёт вверх — производная положительна, вниз — отрицательна, горизонтальна — равна нулю. Эти три строчки — весь словарь задания, и их стоит проговорить до автоматизма до любых тренировок.

Сюжет 1. Дан график производной

Первый классический сюжет: на рисунке график производной, а спрашивают про функцию. Работаем только со знаками: где график выше оси x — там функция растёт, где ниже — убывает, где пересекает ось — там кандидаты в экстремумы.

1. На рисунке график y = f′(x); требуется найти количество точек максимума.
2. Ищем точки пересечения с осью x: их четыре.
3. Проверяем смену знака слева направо: в двух точках «плюс на минус», в двух — «минус на плюс».
4. Максимум — это смена с + на −, значит ответ: 2.

Если спрашивают длину промежутка возрастания — смотри, где график производной выше оси, и вычитай координаты концов промежутка. И помни: экстремум — это место смены знака, а не любая точка пересечения оси. Если график коснулся оси и не перешёл на другую сторону, экстремума там нет.

Сюжет 2. Дан график функции и касательная

Второй сюжет зеркальный: на рисунке график функции, в точке x₀ проведена касательная, и нужно найти f′(x₀). По геометрическому смыслу это угловой коэффициент прямой. Выбери на касательной две точки с целыми координатами и посчитай k = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁).

1. Касательная проходит через точки (−1; 2) и (2; 8).
2. Считаем приращения: (8 − 2) / (2 − (−1)) = 6 / 3 = 2.
3. Значит, f′(x₀) = 2. Ответ: 2.

Иногда вместо касательной на рисунке отмечен угол наклона: тогда производная равна тангенсу этого угла — например, угол 45° даёт f′(x₀) = 1, а тупой угол всегда даёт отрицательное значение. Если же спрашивают, в скольких точках касательная параллельна прямой y = 2x + 7, просто посчитай точки, где наклон графика совпадает с k = 2: параллельные прямые имеют одинаковый угловой коэффициент.

Типичные ошибки и ловушки

1. Путать график функции с графиком производной — самая частая и самая дорогая ошибка.
2. Считать каждую точку пересечения оси экстремумом: нужен именно переход со сменой знака.
3. Искать максимум функции там, где производная максимальна: наибольшее значение f′(x) не равно наибольшему значению f(x).
4. Брать точки касательной «на глазок», без целых координат, и терять точность.

Отдельная ловушка — слова «в точке» и «на отрезке». «Сколько точек экстремума на отрезке» и «сколько точек экстремума у функции» могут давать разные ответы: на отрезке считаем только то, что попадает в указанные границы. Читай условие дважды, прежде чем считать, — это дешевле, чем переделывать весь вариант.

Производная — один из столбов второй части ЕГЭ, поэтому понимание из задания 8 ещё пригодится. Дальше по подготовке помогут статьи производная: геометрический смысл простыми словами, исследование функций с помощью производной и графики функций: как читать и сопоставлять.

Итог простой: задание 8 — это не вычисления, а перевод с языка рисунка на язык знаков. Знак производной отвечает за рост и падение, смена знака — за экстремумы, наклон касательной — за значение производной. Если хочется разобрать тему медленно, с примерами и вопросами, загляни на Просто Урок.