Теорема Виета: как применять

Теорема Виета: что это и откуда берётся

Ты решаешь квадратные уравнения через дискриминант, аккуратно считаешь — и всё равно теряешь время и баллы на пустяках? Теорема Виета даёт короткий путь: во многих уравнениях корни находятся устно, а ответ проверяется за пять секунд. Разберём, как применять её уверенно.

Теорема связывает корни квадратного уравнения с его коэффициентами. Для приведённого уравнения x² + px + q = 0 сумма корней равна −p, а произведение равно q:

x² + px + q = 0
x₁ + x₂ = −p
x₁ · x₂ = q
Например: x² − 7x + 12 = 0 → x₁ + x₂ = 7, x₁ · x₂ = 12

Для полного уравнения ax² + bx + c = 0 формулы другие: сумму корней даёт −b ÷ a, а произведение — c ÷ a. Важное условие: теорема работает только тогда, когда корни существуют, то есть дискриминант не отрицательный. Если квадратные уравнения подзабылись, начни со статьи про дискриминант — там разобраны все случаи. Многие путают знаки, поэтому запомни: в сумме знак меняется, в произведении остаётся. Обозначаем корни x₁ и x₂ — индексы помогают не перепутать их местами.

Как применять теорему Виета: пошаговый алгоритм

Порядок действий прост, но требует внимания к знакам. Следуй алгоритму, и устный счёт перестанет быть рискованным.

Шаг 1. Приведи уравнение к виду ax² + bx + c = 0: раскрой скобки, перенеси всё в левую часть, собери подобные. Шаг 2. Выпиши коэффициенты a, b и c вместе со знаками. Шаг 3. Проверь, есть ли корни: посчитай дискриминант или убедись, что он не отрицателен. Шаг 4. Запиши сумму и произведение корней. Шаг 5. Подбери корни или проверь уже найденные.

Например, уравнение 3x² + 6x − 24 = 0 сначала удобно разделить на 3: получится x² + 2x − 8 = 0. Тогда x₁ + x₂ = −2, x₁ · x₂ = −8, значит корни 2 и −4.

Отработать шаги до автоматизма помогает короткая практика: в личном кабинете доступны бесплатные тренировочные задания с мгновенной проверкой.

Один пример полностью: 2x² − 11x + 15 = 0

Разберём уравнение целиком, с проверкой каждого шага.

2x² − 11x + 15 = 0
a = 2, b = −11, c = 15
D = b² − 4ac = (−11)² − 4 · 2 · 15 = 121 − 120 = 1
√D = √1 = 1
x₁ = (11 + 1) ÷ 4 = 3
x₂ = (11 − 1) ÷ 4 = 2,5
Проверка по теореме Виета:
x₁ + x₂ = 3 + 2,5 = 5,5 = 11 ÷ 2 = −b ÷ a
x₁ · x₂ = 3 · 2,5 = 7,5 = 15 ÷ 2 = c ÷ a

Обрати внимание на порядок: сначала дискриминант подтверждает, что корни есть, а потом теорема Виета даёт быструю проверку. Такой двойной контроль особенно полезен на контрольной: одна ошибка в знаке — и ответ уже неверный, а проверка её сразу показывает. Кстати, это же уравнение можно решить и подбором: нужно найти два числа с суммой 5,5 и произведением 7,5 — это 3 и 2,5. Записывай промежуточные шаги: на экзамене за пропущенное действие могут снизить оценку, даже если ответ верный. Если корни получились дробными, не пугайся: сумма и произведение всё равно должны совпасть с −b ÷ a и c ÷ a.

Обратная теорема: корни подбираются устно

Обратная теорема звучит так: если числа m и n таковы, что m + n = −p и m · n = q, то эти числа — корни уравнения x² + px + q = 0. Это основной инструмент устного счёта.

Пример: x² − 9x + 20 = 0. Ищем два числа с суммой 9 и произведением 20. Перебираем пары делителей: 1 и 20, 2 и 10, 4 и 5. Подходит 4 и 5: 4 + 5 = 9, 4 · 5 = 20. Ответ: 4 и 5.

Ещё пример: x² + 3x − 10 = 0. Произведение отрицательное, значит корни разных знаков. Пара 5 и −2: сумма 3, произведение −10. Ответ: 5 и −2.

Если уравнение не приведённое, сначала раздели обе части на a — иначе формулы для суммы и произведения придётся применять в общем виде. Тренируй перебор делителей свободного члена — это ускоряет подбор в разы. Проверить, насколько быстро ты подбираешь корни, можно на бесплатных заданиях в личном кабинете.

Типичные ошибки и знаки корней

Большинство ошибок связано со знаками и с лишними применениями теоремы.

Ошибка первая: забыть минус в формуле суммы. Ошибка вторая: применить теорему, когда дискриминант отрицательный, и «найти» корни там, где их нет. Ошибка третья: перепутать порядок коэффициентов в полном уравнении. Ещё одна ловушка — деление уравнения на выражение с переменной: так можно потерять корень. Дели только на число. И помни: теорема Виета — это не замена дискриминанта, а удобное дополнение.

Что запомнить

Коротко о главном. Для уравнения ax² + bx + c = 0 сумма корней равна −b ÷ a, произведение — c ÷ a. Для приведённого x² + px + q = 0 сумма равна −p, произведение q. Обратная теорема позволяет подбирать корни устно.

Запомни три шага: привести, выписать коэффициенты, проверить сумму и произведение. Этого достаточно для большинства заданий базового уровня. Регулярность важнее длинных занятий: пятнадцать минут в день дают больше, чем три часа раз в неделю перед контрольной.

Ошибки в знаках — не признак неспособности, а вопрос внимательности; они уходят после нескольких десятков решённых примеров. Тренируйся на коротких уравнениях и всегда записывай проверку.

Следующий шаг — практика: зарегистрируйся и реши 5 заданий бесплатно, чтобы закрепить алгоритм. А если хочется посмотреть, как похожие идеи работают со степенями, загляни в статью про логарифмы и степени.