Уравнение x² = a и его корни: задачи с решениями и ответами

Уравнение x² = a: что это и почему корней бывает разное число

Знакомая картина: правило «x² = a → x = ±√a» выучено, а на самостоятельной работе появляется x² = –4, и рука сама выводит ±2. Дальше потерянный балл и обида. Ниже мы разложим тему по шагам: ты поймёшь, откуда берётся знак ±, почему при отрицательном a корней нет и как быстро получать верный ответ. Материал рассчитан на 8 класс, но пригодится и при повторении перед экзаменом.

Уравнение x² = a — это требование найти все числа, квадрат которых равен a. Квадрат — произведение числа на само себя: 5² = 25 и (–5)² = 25. Разные числа дают один и тот же результат, потому что минус на минус даёт плюс. Именно поэтому ответ чаще всего состоит из двух чисел, а не из одного.

Ещё один факт: квадрат любого действительного числа не бывает отрицательным. 0² = 0, 0,1² = 0,01, (–7)² = 49 — результат всегда ≥ 0. Значит, правая часть сама диктует, сколько корней мы получим, и никакая формула этого не отменит.

Главная идея раздела: сначала смотрим на число a, и только потом пишем ответ. Такой порядок «сначала анализ, потом вычисление» экономит время и защищает от глупых ошибок.

Три случая: a > 0, a = 0, a < 0

Первый случай — a > 0. Пример: x² = 36. Корни 6 и –6, ведь 6² = 36 и (–6)² = 36. Записываем x = ±6 или x₁ = 6, x₂ = –6. Если a не является точным квадратом, ответ остаётся с корнем: x² = 7 → x = ±√7. Это полноценный ответ, превращать его в округлённую десятичную дробь нужно только по требованию задачи.

Второй случай — a = 0. Уравнение x² = 0 имеет единственный корень x = 0. Ноль — единственное число, которое в квадрате даёт само себя, поэтому знак ± здесь не порождает двух разных ответов. Иногда ученики пишут «±0»: формально не ошибка, но аккуратнее писать просто 0.

Третий случай — a < 0. Уравнение x² = –25 корней не имеет: ни положительное число, ни отрицательное, ни ноль в квадрате не дадут минус. Правильный ответ: «корней нет» или «решений нет».

Такую таблицу удобно проверять мысленно на каждом примере. Потренироваться на коротких заданиях с мгновенной проверкой можно в личном кабинете.

Полный разбор примера: от условия до ответа

Возьмём уравнение x² = 49 и оформим решение так, как это стоит делать в тетради: с анализом правой части, двумя ветвями и итоговым ответом.

x² = 49
a = 49, 49 > 0 → корней два
x = √49 или x = –√49
x = 7 или x = –7
Ответ: x₁ = 7, x₂ = –7

Проверка занимает пять секунд: 7² = 49 и (–7)² = 49, оба числа подходят. Именно такая проверка ловит потерю второго корня — самую частую ошибку в этой теме.

Теперь пример, где корень не извлекается точно: x² = 12. Получаем x = ±√12. Корень можно упростить: √12 = √(4 · 3) = 2√3, значит x = ±2√3. А уравнение x² = –9 решений не имеет: минус справа сразу закрывает вопрос, дальше считать нечего.

Когда под квадратом стоит выражение

В 8 классе уравнение быстро усложняется: x² = a превращается в (x – 3)² = 16 или в 2x² = 50. Логика при этом не меняется — меняется только порядок действий.

Первый шаг — привести запись к виду «квадрат равен числу». Мешает коэффициент — делим на него: 2x² = 50 → x² = 25 → x = ±5. Мешает слагаемое — переносим: x² + 4 = 4 → x² = 0 → x = 0. Здесь многие теряют бдительность и пишут два корня, хотя ноль даёт только один.

Второй шаг — случай с выражением в скобках. (x – 3)² = 16: квадрат равен 16, значит само выражение равно 4 или –4.

(x – 3)² = 16
x – 3 = 4 или x – 3 = –4
x = 7 или x = –1
Ответ: x₁ = 7, x₂ = –1

Обрати внимание: знак ± относится ко всей скобке (x – 3), а не к одному x. Если в примерах попадаются дроби вида 0,09 или 1,44, пригодится умение переводить их в обыкновенные — короткий разбор есть в статье про обыкновенные дроби.

Типичные ошибки и задачи для отработки

Ошибка первая и самая дорогая — потеря второго корня. Уравнение x² = 81 имеет два решения: 9 и –9. Если в ответе осталось только 9, задание не зачтено, хотя счёт был верным.

Ошибка вторая — запись ±√a при отрицательном a. Формула x = ±√a работает только для неотрицательной правой части. Как только видишь минус, ответ — «корней нет», и никаких исключений тут не бывает.

Ошибка третья — путаница между √(a²) и (√a)². В первом случае под корнем квадрат, и ответ равен |a|, то есть модулю числа. Во втором корень и квадрат взаимно уничтожаются, и получается само a при a ≥ 0.

Задачи для самостоятельной отработки — реши, затем сверься:

1. x² = 64 → x = ±8
2. x² = 0,09 → x = ±0,3
3. x² = –1 → корней нет
4. x² = 20 → x = ±2√5
5. (x + 2)² = 9 → x = 1 или x = –5
6. 3x² = 12 → x = ±2

Если решаешь верно, но медленно, дело не в теме, а в навыке счёта: выручают короткие тренировки по 5 минут в день.

Что запомнить и как двигаться дальше

Главное: число корней уравнения x² = a зависит только от знака a. При a > 0 — два корня ±√a, при a = 0 — один корень 0, при a < 0 — корней нет.

Второе: знак ± относится ко всему выражению в квадрате, поэтому (x – 3)² = 16 распадается на два линейных уравнения, а не на одно. Третье: перед вычислениями приводи запись к виду «квадрат равен числу», убирая коэффициент и лишние слагаемые.

Следующий шаг — закрепить теорию практикой. Зарегистрируйся и заходи в личный кабинет: там можно решить 5 заданий бесплатно, а система подскажет, где именно теряется корень или знак. После разбора это самый быстрый путь довести тему до автоматизма.