Просто УрокКак решать задачи на работу и производительность
Задачи на работу часто кажутся запутанными: в условии много часов, рабочих, деталей и процентов. Но на ОГЭ достаточно увидеть одну связь: выполненная работа равна производительности, умноженной на время. Разберём её спокойно, чтобы ты мо…
1. Что такое задачи на работу и производительность
Задачи на работу часто кажутся запутанными: в условии много часов, рабочих, деталей и процентов. Но на ОГЭ достаточно увидеть одну связь: выполненная работа равна производительности, умноженной на время. Разберём её спокойно, чтобы ты мог переводить текст задачи в понятную схему и не терять баллы из-за невнимательности.
Производительность показывает, какую часть всей работы выполняют за единицу времени. Если мастер делает 6 деталей за час, его производительность равна 6 деталей в час. Если всю работу обозначить единицей, то производительность можно записать как 1 ÷ время выполнения.
Работа = Производительность · Время
Производительность = Работа ÷ Время
Время = Работа ÷ Производительность
Например, станок выполняет заказ за 8 часов. За один час он выполняет ⅛ заказа. Типичная ошибка — считать 8 единиц производительностью. На самом деле 8 часов — это время, а производительность равна ⅛ работы в час.
Если хочется повторить действия с дробями и порядком вычислений, загляни в разбор натуральных чисел.
2. Как составить модель задачи
Сначала внимательно прочитай условие и определи, что именно считается всей работой: изготовление партии, уборка помещения, заполнение бассейна или путь, который нужно пройти. Затем введи обозначение неизвестного, выбери удобную единицу работы и составь таблицу «производительность — время — работа».
| Участник | Производительность | Время | Работа |
|---|---|---|---|
| Первый | 1 ÷ 6 | 6 ч | 1 |
| Второй | 1 ÷ 4 | 4 ч | 1 |
Если рабочий выполняет заказ за 6 часов, его скорость работы равна 1 ÷ 6 заказа в час. При совместной работе производительности складываются, потому что за один час каждый выполняет свою часть задания.
1 ÷ 6 + 1 ÷ 4 = 2 ÷ 12 + 3 ÷ 12 = 5 ÷ 12
За 1 час выполнено 5 ÷ 12 работы
Время на весь заказ: 1 ÷ (5 ÷ 12) = 12 ÷ 5 = 2,4 ч
Ловушка — складывать время: 6 + 4. Так делать нельзя: люди работают одновременно, поэтому складываются их производительности, а не продолжительность работы.
Перед вычислениями проговори единицы: «заказов в час», «часов», «заказов». Это быстро показывает, какую величину нужно найти.
3. Совместная работа: главный алгоритм
Для задач о двух исполнителях удобно действовать по четырём шагам. Первый: найди производительность каждого отдельно. Второй: сложи производительности, если оба работают одновременно. Третий: умножь общую производительность на время совместной работы. Четвёртый: проверь, какая часть задания осталась.
Рассмотрим ситуацию: один рабочий выполняет заказ за 10 часов, другой — за 15 часов. За сколько часов они выполнят заказ вместе? Здесь вся работа равна единице, поэтому скорости равны 1 ÷ 10 и 1 ÷ 15.
1 ÷ 10 + 1 ÷ 15 = 3 ÷ 30 + 2 ÷ 30 = 1 ÷ 6
Общая производительность — 1 ÷ 6 заказа в час
Время = 1 ÷ (1 ÷ 6) = 6 часов
Если один исполнитель начал раньше, сначала вычисли его результат за известное время. Затем вычти эту часть из всей работы. Остаток выполняют вместе или вторым исполнителем — это зависит от условия.
Типичная ошибка — забыть, что работа могла быть начата одним человеком. Чтобы не запутаться, нарисуй короткую шкалу времени и подпиши на ней каждый этап. В личном кабинете можно бесплатно потренироваться на похожих задачах.
4. Проценты, изменение производительности и обратные величины
Иногда производительность увеличивается или уменьшается на несколько процентов. Если рабочий стал выполнять на 20% больше, новая производительность равна прежней, умноженной на 1,2. Если производительность снизилась на 20%, нужно умножить её на 0,8. Нельзя просто прибавлять проценты к времени: время и производительность связаны обратно.
Например, мастер изготавливал 5 деталей в час и после настройки стал работать на 20% быстрее. Его новая производительность — 5 · 1,2 = 6 деталей в час. За 30 деталей он теперь потратит 30 ÷ 6 = 5 часов.
Было: 5 деталей/ч
Стало: 5 · 1,2 = 6 деталей/ч
Время: 30 ÷ 6 = 5 ч
Если в условии сказано, что время уменьшилось на 20%, это уже другая информация: новое время равно 0,8 прежнего времени, а производительность возрастает в 1 ÷ 0,8 раза.
Главная ловушка — считать увеличение производительности и уменьшение времени одинаковыми процентами. Они не равны, потому что величины обратные. Полезно заранее повторить работу с таблицами и графиками в этом материале.
5. Типичные ошибки и проверка ответа
Первая ошибка — смешать единицы измерения. Если один мастер работает 2 часа 30 минут, переведи время либо в часы: 2,5 часа, либо в минуты: 150 минут. Второй вариант нельзя использовать рядом с производительностью «за час» без пересчёта.
Вторая ошибка — неверно выбрать всю работу. В задачах с деталями можно принять за работу количество деталей, а в задачах с бассейном — объём воды. При этом производительность будет конкретной, например 12 деталей в час или ⅕ бассейна в час.
Проверка: производительность · время = выполненная работа
6 деталей/ч · 5 ч = 30 деталей
Третья ошибка — получить ответ больше исходного времени при совместной работе. Если два человека действительно работают одновременно, результат обычно должен быть меньше времени каждого из них, если только условие не содержит перерывов или задержек.
Проверь также смысл ответа: часы не могут внезапно стать деталями, а отрицательное время невозможно. Если вычисления верны, но ответ выглядит странно, вернись к таблице. Для дополнительной практики можно открыть бесплатный набор заданий и решать их с подсказками.
Фраза «на 20% больше» означает умножение на 1,2, а «на 20% меньше» — умножение на 0,8. Не заменяй их прибавлением или вычитанием 20 часов.
Что запомнить
В задачах на работу держи в голове одну основу: работа равна производительности, умноженной на время. Всю работу удобно принять за 1, тогда производительность исполнителя, который справляется за t часов, равна 1 ÷ t.
Алгоритм такой: выпиши данные, приведи единицы к общему виду, найди производительность каждого, сложи скорости при совместной работе, вычисли время или выполненную часть и проверь ответ по смыслу.
Совместная производительность = 1 ÷ t₁ + 1 ÷ t₂
Работа за время T = общая производительность · T
Оставшаяся работа = вся работа − выполненная часть
Не торопись подставлять числа сразу. Сначала сделай краткую таблицу или схему: она защищает от главных ошибок — перепутанных величин, неверных процентов и сложения времени вместо производительности.
Следующий шаг простой: зарегистрируйся и реши 5 заданий бесплатно в личном кабинете. После каждого ответа объясни себе, почему выбрана именно эта формула: так навык закрепится надёжнее.
Как закрепить тему после разбора?
Реши несколько задач разных типов: совместная работа, отложенный старт, проценты и смена единиц. После решения сверяй не только ответ, но и составленную модель.
Почему складывают производительность, а не время?
За один и тот же час каждый исполнитель делает свою часть работы. Поэтому складываются выполненные за час части, то есть производительности.
Можно ли принять всю работу за 100?
Да, если так удобнее. Тогда производительность выражается в процентах работы за час. Главное — использовать один масштаб во всех вычислениях.
Как понять, что ответ реалистичный?
Сравни его с исходными данными, проверь единицы и подставь результат в формулу работы. При совместной работе время обычно меньше времени каждого участника.
Хочешь понимать предмет уверенно?
Репетитор Просто Урок разбирает сложные темы по шагам и даёт целевые тренировки. Регистрация занимает минуту.