Квадратичная функция: как строить параболу: задачи с решениями и ответами

Что такое квадратичная функция

Парабола часто кажется сложной: непонятно, с чего начать построение и как не ошибиться со знаками. На самом деле достаточно знать несколько опорных точек и порядок действий. В этой статье ты разберёшь квадратичную функцию, научишься строить её график и проверишь себя на задачах с решениями.

Квадратичной называют функцию вида y = ax² + bx + c, где a ≠ 0. Её график — парабола. Коэффициент a отвечает за направление ветвей: если a > 0, они направлены вверх, а если a < 0 — вниз. Коэффициенты b и c влияют на положение параболы.

Пример: y = 2x² − 3x + 1
a = 2, b = −3, c = 1
a > 0 → ветви направлены вверх

Свободный член c показывает ординату точки пересечения с осью Oy: при x = 0 получаем y = c. Для повторения действий с квадратами можно посмотреть материал о квадратных корнях и уравнениях.

Типичная ошибка — считать квадратичной любую формулу с квадратом числа. Например, y = 5x² − 7 подходит, а y = 4x + 1 — линейная функция.

Алгоритм построения параболы

Построение удобно выполнять по плану. Сначала определи коэффициенты и направление ветвей. Затем найди координаты вершины. После этого проведи ось симметрии, выбери несколько значений x, вычисли y и отметь полученные точки.

Координату вершины находят так: x₀ = −b ÷ 2a, затем подставляют x₀ в формулу и получают y₀. Ось симметрии имеет уравнение x = x₀. Точки, равноудалённые от этой оси, имеют одинаковые значения y.

Пример: y = x² − 4x + 3
a = 1, b = −4, c = 3
x₀ = −(−4) ÷ 2 = 2
y₀ = 2² − 4 · 2 + 3 = −1
Вершина: (2; −1), ось симметрии: x = 2

Для построения возьми x = 0, 1, 2, 3, 4. Получатся точки (0; 3), (1; 0), (2; −1), (3; 0), (4; 3). Соедини их плавной линией.

Типичная ошибка — соединять точки отрезками или забывать симметричную точку. Парабола должна быть плавной, а одинаковые значения y помогают проверить рисунок.

Таблица значений и вершина

Иногда в задании не требуют находить вершину, но таблица значений всё равно нужна. Выбирай небольшие целые x и аккуратно подставляй их в функцию. Лучше записывать промежуточные действия, особенно когда перед квадратом стоит минус.

По таблице видно, что минимальное значение равно −4 при x = 1. Значит, вершина — точка (1; −4), а ось симметрии — x = 1. Нули функции находятся там, где y = 0: в данном примере это x = −1 и x = 3.

Проверка вершины:
x₀ = −(−2) ÷ 2 = 1
y₀ = 1² − 2 · 1 − 3 = −4
Точки −1 и 3 равноудалены от x = 1

Типичная ошибка — перепутать строку x со строкой y или неверно возвести отрицательное число в квадрат. Запомни: (−1)² = 1, а −1² = −1.

Если хочется потренироваться в похожих вычислениях, их удобно выполнять в личном кабинете с бесплатной практикой.

Как найти нули и пересечения

Нули функции — значения x, при которых график пересекает ось Ox. Для этого решают уравнение ax² + bx + c = 0. Если квадратный трёхчлен раскладывается на множители, используй этот способ. Иначе применяй дискриминант.

Дискриминант вычисляют по формуле D = b² − 4ac. При D > 0 два корня, при D = 0 один корень, при D < 0 действительных корней нет. Чем больше найденных точек, тем легче проверить рисунок.

Пример: y = x² − 5x + 6
x² − 5x + 6 = 0
(x − 2)(x − 3) = 0
x₁ = 2, x₂ = 3
Пересечения с Ox: (2; 0) и (3; 0)
Пересечение с Oy: (0; 6)

Если a > 0 и корни существуют, вершина расположена ниже оси Ox. В нашем примере ось симметрии проходит через середину корней: x = (2 + 3) ÷ 2 = 2,5.

Типичная ошибка — назвать корнями координаты точек целиком. Корни — только значения x, а точки пересечения записываются парами координат.

Задачи для отработки

Решай задачи в одинаковой последовательности: определи направление ветвей, найди вершину, отметь пересечения с осями и проверь симметрию. Такой порядок помогает не потерять важный пункт даже в незнакомом примере.

Задача 1. Построй график y = −x² + 4x − 3. Здесь a = −1, поэтому ветви направлены вниз. Вершина имеет координаты x₀ = 2, y₀ = 1. Нули находятся из уравнения −x² + 4x − 3 = 0: x = 1 и x = 3.

Ответ: вершина (2; 1), ось x = 2
Точки: (1; 0), (2; 1), (3; 0), (0; −3), (4; −3)
График — парабола с ветвями вниз

Задача 2. Укажи число корней функции y = 2x² + 2x + 5. D = 2² − 4 · 2 · 5 = −36, поэтому график не пересекает ось Ox.

Типичная ошибка — делать вывод о числе пересечений только по рисунку. Сначала вычисли дискриминант или исследуй вершину, а затем оформляй ответ.

Дополнительные задания по свойствам корней собраны в материале о теореме Виета. После разбора можно открыть бесплатную практику и решать задания в своём темпе.

Что запомнить

Квадратичная функция имеет вид y = ax² + bx + c, а её график — парабола. Знак a определяет направление ветвей. Вершина находится через x₀ = −b ÷ 2a, затем вычисляется y₀. Ось симметрии проходит по прямой x = x₀.

Для построения отметь вершину, пересечения с осями и несколько симметричных точек. Нули функции находят решением квадратного уравнения. Дискриминант помогает понять, сколько пересечений с осью Ox существует.

Проверяй себя по трём вопросам: правильно ли определён знак a, не потеряны ли скобки при подстановке, симметричны ли точки относительно оси. Эти проверки быстро находят большинство ошибок.

Мини-памятка:
a > 0 → ветви вверх
a < 0 → ветви вниз
D > 0 → два корня
D = 0 → один корень
D < 0 → действительных корней нет

Следующий шаг — зарегистрируйся и реши 5 заданий бесплатно в личном кабинете. Так правило превратится в уверенный навык.

Типичная ошибка — выучить формулу вершины, но не уметь применить её к конкретной функции. Поэтому после теории обязательно реши несколько примеров самостоятельно.