Неравенства с двумя переменными

Что такое неравенства с двумя переменными

Если в задаче встречаются x и y, легко растеряться: ответом уже не будет одно число. Здесь нужно найти все пары значений, которые подходят условию, и показать их на координатной плоскости. Разберём понятный алгоритм, научимся строить области и избегать ошибок, чтобы уверенно решать задания 9 класса.

Неравенство с двумя переменными выглядит так: 2x + y ≥ 4, x² + y² < 9 или y ≤ 3x − 1. Его решением называют пару чисел (x; y), после подстановки превращающую неравенство в верное утверждение. Например, пара (2; 1) подходит для 2x + y ≥ 4, потому что 2 · 2 + 1 = 5, а 5 ≥ 4.

Обычно множество решений изображают на координатной плоскости. Сначала строят границу — линию или кривую, полученную заменой знака неравенства на знак равенства. Затем выбирают подходящую сторону. Полезно повторить работу с координатами в разборе базы ЕГЭ.

Типичная ошибка — считать, что решением является только одна точка пересечения графиков. На самом деле подходит целая область, иногда бесконечное множество точек.

Линейное неравенство и полуплоскость

Рассмотрим линейное неравенство y ≥ 2x − 3. Граница задаётся уравнением y = 2x − 3. Построй прямую по двум точкам: при x = 0 получаем y = −3, а при x = 2 получаем y = 1. Соедини точки.

Знак ≥ означает, что нужны точки выше прямой, потому что их координата y не меньше значения 2x − 3. Саму границу рисуют сплошной линией: точки прямой входят в ответ. При строгом знаке > граница будет пунктирной, ведь точки на ней условию не удовлетворяют.

Проверить сторону можно пробной точкой, чаще всего O(0; 0). Подставляем: 0 ≥ 2 · 0 − 3, то есть 0 ≥ −3 — верно. Значит, закрашиваем сторону, где находится начало координат.

Не путай вертикальное и горизонтальное направления: «выше» относится к значениям y, а не к большим x. Дополнительные упражнения можно выполнить в бесплатной практике личного кабинета.

Как решать систему неравенств

Система означает, что все условия должны выполняться одновременно. Поэтому каждое неравенство изображают на одной координатной плоскости, а ответом считают общую часть закрашенных областей. Это важное отличие от ситуации «или», где объединяют подходящие области.

Разберём пример системы: y ≥ x − 1 и y ≤ 3. Первая граница — прямая y = x − 1, закрашиваем область выше неё. Вторая граница — горизонтальная прямая y = 3, закрашиваем область ниже. Пересечение — полоса между этими линиями, но только там, где первая прямая не выше второй.

Можно определить диапазон x: x − 1 ≤ 3, значит x ≤ 4. При x = 1 допустимы значения y от 0 до 3. Точка (1; 2) входит в ответ, а точка (5; 2) не входит, потому что 2 ≥ 4 неверно.

Типичная ошибка — закрасить каждую область отдельно и объявить ответом всё закрашенное пространство. Ищи именно пересечение. Если нужна тренировка с проверкой шагов, открой личный кабинет и реши задания бесплатно.

Полное решение: система с прямыми

Решим систему полностью и аккуратно: 2x + y ≥ 4 и x − y ≤ 1. Сначала выразим y. В первом условии y ≥ 4 − 2x. Во втором после переноса получаем −y ≤ 1 − x, а при умножении на −1 знак меняется: y ≥ x − 1.

Обе границы входят в решение, поэтому строим сплошные прямые y = 4 − 2x и y = x − 1. Для первой удобно взять точки (0; 4) и (2; 0). Для второй — (0; −1) и (1; 0). Закрашиваем область выше обеих прямых.

2x + y ≥ 4 → y ≥ 4 − 2x
x − y ≤ 1 → y ≥ x − 1
Ответ: y ≥ 4 − 2x и y ≥ x − 1
(0; 5): 5 ≥ 4 и −5 ≤ 1 — подходит
(0; 0): 0 ≥ 4 — не подходит

Точка (0; 5) лежит в общей области, поэтому является решением. Точка (0; 0) не подходит уже по первому условию. Частая ошибка — не изменить знак при умножении на −1 или забыть, что система требует выполнения двух условий сразу.

Кривые границы и типичные ловушки

Неравенства могут содержать квадрат: x² + y² ≤ 16. Граница x² + y² = 16 — окружность с центром в начале координат и радиусом 4. Знак ≤ включает внутренность круга и саму окружность, поэтому границу рисуют сплошной линией. При знаке < окружность будет пунктирной, а закрашивают только внутреннюю область.

Проверим точки. Для (0; 0): 0² + 0² = 0 ≤ 16, точка подходит. Для (4; 0): 16 ≤ 16, точка тоже входит. Для (5; 0): 25 ≤ 16 — неверно, значит она вне ответа.

Если выражение содержит дроби, степени или корни, вычисляй аккуратно и не округляй без необходимости. Повтори правила преобразований в материале о степенях и корнях.

Ловушка — закрасить круг при строгом неравенстве вместе с окружностью. Ещё одна ошибка — перепутать радиус и его квадрат: в записи x² + y² = 16 радиус равен 4, а не 16.

Что запомнить перед проверочной

Алгоритм таков: приведи неравенство к удобному виду, построй границу, определи её тип, выбери сторону пробной точкой и проверь ответ. Для системы повторяй действия для каждого условия, а затем оставляй только общую область.

Сплошная граница соответствует знакам ≥ и ≤, пунктирная — > и <. В системах используется пересечение. При умножении или делении на отрицательное число знак меняется. Для окружности x² + y² ≤ r² закрашивается круг, а при строгом знаке граница исключается.

Например, для y < −x + 2 проведи пунктирную прямую через (0; 2) и (2; 0), затем выбери область ниже неё. Не закрашивай линию: она не входит в ответ.

Следующий шаг — зарегистрируйся и реши 5 заданий бесплатно в личном кабинете. Так ты закрепишь построение, проверку точек и работу с системами.