Шпаргалка: степени и корни

Понимаем степени без путаницы

Если в контрольной теряешься в степенях и корнях, чаще всего проблема не в сложных вычислениях, а в порядке действий и знаках. Эта шпаргалка поможет быстро повторить правила, разобрать типовые примеры и увереннее решать задания на уроке или экзамене.

Степень показывает, сколько раз число умножают само на себя. В записи aⁿ число a называют основанием, а n — показателем степени.

\( 2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8 \)
\( 5^2 = 5 \cdot 5 = 25 \)
\( 7^1 = 7 \)
a⁰ = 1, если a ≠ 0

Квадрат числа — это вторая степень, куб — третья. Важно не путать степень с умножением на показатель: 4³ — это не 4 × 3, а 4 × 4 × 4.

Если основание отрицательное, скобки имеют значение. Выражение (−3)² равно 9, потому что минус тоже возводится в квадрат. А −3² = −9: сначала вычисляется степень, затем ставится знак минус.

Нулевая степень любого ненулевого числа равна единице. Нельзя автоматически применять это правило к выражению 0⁰: в школьных задачах его обычно считают неопределённым.

Применяем свойства степеней

Свойства степеней позволяют сокращать длинные выражения. Они работают, когда основания или показатели подходят под условие правила.

\( aᵐ \cdot aⁿ = aᵐ^+ⁿ \)
\( aᵐ : aⁿ = aᵐ^-ⁿ, a \ne 0 \)
\( (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ \)
\( (ab)ⁿ = aⁿbⁿ \)
\( (a : b)ⁿ = aⁿ : bⁿ, b \ne 0 \)

При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются. При делении — вычитаются. Если степень возводят в степень, показатели перемножаются.

\( x^4 \cdot x^3 = x^7 \)
\( y^9 : y^2 = y^7 \)
\( (m^2)^4 = m^8 \)
\( (2x)^3 = 8x^3 \)

Для отрицательных показателей используется дробь: a⁻ⁿ = 1 : aⁿ. В школьных заданиях сначала перепиши такую степень, а затем вычисляй.

Нужна короткая практика после правил? В бесплатном личном кабинете Просто Урок можно потренироваться: открыть кабинет.

Разбираемся с квадратным корнем

Квадратный корень из неотрицательного числа a — это неотрицательное число, квадрат которого равен a. Обозначение √a читают «корень из а».

√25 = 5, потому что 5² = 25
\( \sqrt{0} = 0 \)
\( \sqrt{1} = 1 \)
\( \sqrt{x^2} = |x| \)

Последняя формула особенно важна. Корень не может быть отрицательным, поэтому √(−7)² = 7, а не −7. Если известно, что x ≥ 0, можно записать √(x²) = x.

Корень из произведения можно разнести на множители, если подкоренные выражения неотрицательны. Аналогично работает правило для частного.

\( \sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \)
\( \sqrt{a : b} = \sqrt{a} : \sqrt{b}, b > 0 \)
\( \sqrt{7}2 = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2} \)

Чтобы упростить корень, ищи внутри полный квадрат: 4, 9, 16, 25, 36, 49 и так далее. Например, в числе 50 есть множитель 25, поэтому √50 = 5√2.

Важно: √(a + b) обычно не равно √a + √b. Например, √(9 + 16) = √25 = 5, а √9 + √16 = 3 + 4 = 7.

В разделе практики кабинета Просто Урок можно закрепить именно такие преобразования: перейти к бесплатным заданиям.

Складываем степени и корни по шагам

Одно из типичных заданий просит вычислить выражение, где встречаются степени, корни и обычные действия. Не спеши считать всё подряд. Сначала упрости степени и корни, затем выполни умножение и деление, после этого сложение и вычитание.

Пример: 2³ + √36 · 5 − (−2)²
\( 1) 2^3 = 8, \sqrt{3}6 = 6, (-2)^2 = 4 \)
\( 2) 8 + 6 \cdot 5 - 4 \)
\( 3) 8 + 30 - 4 = 34 \)

Ответ: 34.

Если складываются одинаковые корни, сначала вынеси полные квадраты за знак корня, а потом собери подобные слагаемые.

\( 2\sqrt{3} + 5\sqrt{3} = 7\sqrt{3} \)
\( \sqrt{1}2 + \sqrt{2}7 = 2\sqrt{3} + 3\sqrt{3} = 5\sqrt{3} \)

Корни √2 и √3 нельзя сложить в один корень. Запись √5 + √7 уже является упрощённым результатом, если дополнительных условий нет.

Действие	Что сделать	Пример
Умножение корней	Объединить под одним корнем	√2 · √8 = √16 = 4
Сложение	Найти одинаковые корни	3√5 + 2√5 = 5√5
Степень корня	Возвести значение корня в степень	(√7)² = 7

В задачах ОГЭ и ЕГЭ такой порядок помогает не потерять баллы на простом вычислительном шаге.

Избегаем типичных ошибок

Первая ошибка — неверный знак при чётной и нечётной степени. При чётном показателе отрицательное основание даёт положительный результат, а при нечётном сохраняет минус.

\( (-4)^2 = 16 \)
\( (-4)^3 = -64 \)
\( -4^2 = -16 \)

Вторая ошибка — сокращение показателей там, где основания не совпадают. Нельзя написать 2³ · 3² = 6⁵. Сначала вычисли числа или вынеси общую структуру по подходящему правилу.

Третья ошибка — потеря модуля: √(x²) = |x|. Модуль нужен, если знак x неизвестен. Если в условии сказано x ≤ 0, то |x| = −x.

Четвёртая ошибка — неправильное округление. Если в ответе требуется точное значение, оставляй √2 или 3√5. Десятичное приближение используй только по условию.

После решения подставь ответ обратно, если это возможно. Такая проверка быстро обнаруживает ошибку в знаке или показателе.

Что запомнить перед самостоятельной

Степень — это повторное умножение. При одинаковом основании показатели складываются при умножении, вычитаются при делении и перемножаются в степени степени. Квадратный корень всегда неотрицателен, а √(x²) равно |x|.

\( a^0 = 1, a \ne 0 \)
\( aᵐ \cdot aⁿ = aᵐ^+ⁿ \)
\( aᵐ : aⁿ = aᵐ^-ⁿ \)
\( (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ \)
\( \sqrt{a^2} = |a| \)

Перед ответом проверь три вещи: одинаковые ли основания ты объединил, не потерялся ли минус и можно ли ещё упростить корень. В экзаменационной работе записывай промежуточные шаги: так легче заметить неточность и объяснить ход решения.

Следующий шаг простой: зарегистрируйся в бесплатном личном кабинете Просто Урок и реши 5 заданий по теме, чтобы сразу проверить, какие правила уже запомнились: начать практику.

Не пытайся выучить всё за один вечер. Сначала повтори свойства степеней, затем отдельно потренируй квадратные корни и только потом решай смешанные выражения.