ОГЭ задание 13: неравенства: разбор с решением

ОГЭ задание 13: что проверяют неравенства

Неравенства в задании 13 ОГЭ часто кажутся сложнее уравнений: здесь важно не только найти числа, но и правильно записать промежуток. Разберём понятный алгоритм, потренируем знаки и научимся проверять ответ без лишней паники. Такой подход поможет уверенно решать линейные, дробно-рациональные и квадратные неравенства.

Сначала определи вид выражения: есть ли скобки, дробь, квадрат переменной. Затем перенеси слагаемые в одну сторону, приведи подобные и внимательно работай со знаком неравенства. Если умножаешь или делишь обе части на отрицательное число, знак меняется на противоположный.

Пример:
3x − 7 ≥ 5
3x ≥ 12
x ≥ 4

Ответ можно записать словами или промежутком: [4; +∞). Квадратная скобка означает, что число 4 входит в ответ. Типичная ошибка — написать (4; +∞), хотя исходное условие содержит знак ≥. После решения всегда подставляй граничное значение обратно.

Если хочется увидеть больше заданий на чтение данных и координат, пригодится разбор столбчатых диаграмм: навык аккуратно сравнивать значения полезен и в алгебре.

Линейное неравенство по шагам

Линейное неравенство содержит переменную только в первой степени. Удобный порядок действий такой: раскрыть скобки, перенести слагаемые с переменной в одну сторону, числа — в другую, привести подобные и разделить на коэффициент. Если коэффициент положительный, знак сохраняется. Если отрицательный — меняется.

Пример:
4(2x − 1) < 3x + 11
8x − 4 < 3x + 11
5x < 15
x < 3

Ответ: (−∞; 3). Число 3 не включается, потому что неравенство строгое. На числовой прямой ставим пустую точку в 3 и отмечаем левую часть. Это помогает не перепутать направление.

Типичная ошибка — менять знак при переносе слагаемого через равно. При переносе меняется знак самого слагаемого, а знак неравенства меняется только при умножении или делении на отрицательное число.

Полный разбор задания с дробью

Рассмотрим пример, где переменная находится в знаменателе. Здесь нельзя сразу умножать на выражение с неизвестным знаком. Сначала выпиши область допустимых значений: знаменатель не должен быть равен нулю. Потом перенеси всё в одну сторону и приведи к общей структуре.

Решить: (x − 2) ÷ (x + 1) ≥ 0
ОДЗ: x ≠ −1
Критические точки: −1 и 2
Промежутки: (−∞; −1), (−1; 2), (2; +∞)
Знаки: +, −, +
Ответ: (−∞; −1) ∪ [2; +∞)

Почему выбран такой ответ? На первом промежутке, например при x = −2, числитель и знаменатель отрицательны, поэтому дробь положительна. Между точками можно взять x = 0: числитель отрицателен, знаменатель положителен, значит знак отрицательный. После 2 оба множителя положительны.

Точка −1 исключается из-за ОДЗ. Точка 2 включается, потому что числитель равен нулю, а знак ≥ допускает ноль. Главная ошибка — включить −1 или выбрать знак по одному числу, не проверив все промежутки.

Для дополнительной тренировки работы с таблицами и графиками можно открыть подборку заданий с графиками и таблицами.

Квадратные неравенства и метод интервалов

В квадратном неравенстве сначала перенеси всё в одну сторону, разложи выражение на множители или найди корни квадратного трёхчлена. Затем отметь корни на прямой и расставь знаки на промежутках. Если старший коэффициент положительный, знак произведения обычно начинается с плюса справа и чередуется при переходе через корень нечётной кратности.

Пример:
x² − 5x + 6 ≤ 0
(x − 2)(x − 3) ≤ 0
Ответ: [2; 3]

Между корнями произведение отрицательно, а на самих корнях равно нулю, поэтому оба значения входят в ответ. Если бы стоял знак < 0, получилось бы (2; 3). Если корень повторяется, знак около него не меняется — это важная особенность.

Типичная ошибка — выбирать внешние промежутки только потому, что график параболы направлен вверх. Всегда учитывай знак неравенства и проверяй контрольную точку. Например, x = 0 даёт 6, а это не подходит условию ≤ 0.

После решения полезно набросать параболу или таблицу знаков: визуальная проверка быстро показывает, не перепутаны ли внутренняя и внешняя области.

Типичные ошибки и самопроверка

Ошибки в задании 13 чаще связаны не с вычислениями, а с оформлением. Проверь четыре пункта: не потеряны ли скобки, правильно ли изменён знак, исключены ли запрещённые значения, верно ли поставлены круглые и квадратные скобки. Если ответ состоит из двух частей, используй объединение промежутков.

Мини-проверка: возьми по одному числу из каждого выбранного промежутка и подставь в исходное выражение. Такой тест занимает немного времени, но обнаруживает неверный знак или направление луча.

Закрепить алгоритм в спокойном темпе можно в личном кабинете с бесплатной практикой: после каждого ответа сразу возвращайся к месту ошибки.

Что запомнить перед ОГЭ

Неравенство решается не угадыванием, а последовательностью действий. Линейное выражение упрощай и учитывай знак при делении. В дробях выписывай ОДЗ и расставляй критические точки. В квадратных неравенствах находи корни, составляй таблицу знаков и выбирай промежутки по условию.

Короткий алгоритм:
1. Упростить выражение
2. Найти критические точки
3. Отметить их на прямой
4. Проверить знаки
5. Учесть границы и ОДЗ

Типичная ошибка — торопиться записать ответ, не сверив его с исходным условием. Оставь минуту на подстановку контрольной точки и проверку скобок. Если преобразование кажется сомнительным, реши пример через числовую прямую.

Следующий шаг — зарегистрируйся и реши 5 заданий бесплатно, а затем выпиши повторяющиеся ошибки в отдельный список. Так теория превращается в устойчивый навык.

Помни: аккуратная запись важнее скорости. Один понятный алгоритм, несколько проверок и регулярная практика помогут спокойнее чувствовать себя на экзамене.