ОГЭ задание 14: прогрессии: разбор с решением

Задание 14 ОГЭ: что это за прогрессии и почему их боятся

Если ты открываешь вариант ОГЭ, видишь задание 14, а там «a₁ + a₅ = …» или «b₄ · b₆ = …», паника понятна: буквы с индексами выглядят как шифр. На самом деле прогрессии — одна из самых честных тем экзамена: здесь нет места догадкам, всё считается по двум-трём формулам. Разберём теорию по шагам, решим задачу целиком и посмотрим, где школьники теряют баллы.

Задание 14 — практическая задача на арифметическую или геометрическую прогрессию. Проверяют не зазубривание, а умение выбрать формулу и аккуратно подставить числа. Формулировки разные: найти десятый член, сумму первых n членов, разность, знаменатель, номер члена. Но каркас решения всегда один: определить вид прогрессии → выписать известные величины → подставить в формулу → решить уравнение.

Важно различать виды. В арифметической прогрессии каждый следующий член больше предыдущего на одно и то же число d — шаг, или разность. В геометрической — в одно и то же число q раз, это знаменатель. Перепутаешь — получишь неверный ответ даже при безошибочном счёте. Внимательное чтение условия вообще экономит много баллов: похожие навыки разбираются в статье про типичные ошибки в геометрии.

Арифметическая прогрессия: формулы и логика

Арифметическая прогрессия задаётся двумя числами: первым членом a₁ и разностью d. Всё остальное выводится из них. Главная формула n-го члена: aₙ = a₁ + d(n − 1). Умножаем именно на (n − 1), а не на n: от первого до n-го члена ровно n − 1 шаг. Здесь и возникает большинство обидных ошибок.

Сумма первых n членов считается двумя способами: Sₙ = (a₁ + aₙ) · n ÷ 2 или Sₙ = (2a₁ + d(n − 1)) · n ÷ 2. Первая удобна, когда известен последний член, вторая — когда есть только a₁ и d. Полезен и факт: каждый член равен среднему арифметическому соседей, то есть aₙ = (aₙ₋₁ + aₙ₊₁) ÷ 2. Это свойство часто превращает громоздкую задачу в короткое уравнение.

Дано: a₁ = 3, d = 4.
a₇ = a₁ + d(7 − 1) = 3 + 4 · 6 = 27.
S₇ = (a₁ + a₇) · 7 ÷ 2 = (3 + 27) · 7 ÷ 2 = 105.

Если d отрицательная, прогрессия убывает — формулы не меняются. При a₁ = 20 и d = −3 члены идут 20, 17, 14, 11. Ошибка новичков — «исправить» минус и подставить |d|. Так делать нельзя: знак d — часть условия, а не опечатка.

Геометрическая прогрессия: знаменатель и степени

Геометрическая прогрессия растёт или убывает в q раз: bₙ = b₁ · qⁿ⁻¹. Показатель снова n − 1. При q > 1 члены увеличиваются, при 0 < q < 1 уменьшаются, при отрицательном q знаки чередуются. Последний случай встречается реже, но пугает сильнее всего — разберём и его.

Сумма первых n членов: Sₙ = b₁(qⁿ − 1) ÷ (q − 1) при q ≠ 1. Если q = 1, все члены равны b₁, и сумма равна b₁ · n — про это условие часто забывают. Ещё одна рабочая формула — характеристическое свойство: bₙ² = bₙ₋₁ · bₙ₊₁. Оно моментально решает задачи вида «b₃ · b₅ = 64, найдите b₄»: получаем b₄² = 64, откуда b₄ = 8 или b₄ = −8.

Дано: b₁ = 5, q = 2.
b₆ = b₁ · q⁵ = 5 · 2⁵ = 5 · 32 = 160.
S₆ = b₁(q⁶ − 1) ÷ (q − 1) = 5 · (64 − 1) ÷ 1 = 315.

Типичная ошибка — возвести q в степень n вместо n − 1. Вторая — перепутать знаменатель с разностью и посчитать b₆ = b₁ + 5q. Сравни ответы: 160 и 15 — проверка «на глаз» сразу показывает, что линейный вариант противоречит смыслу задачи.

Разбор задачи из ОГЭ целиком

Условие: в арифметической прогрессии a₃ = 11, a₇ = 27. Найдите a₁, d и сумму первых десяти членов. Это типовой формат задания 14, где нужно не просто подставить числа, а составить систему.

1) a₃ = a₁ + 2d = 11
2) a₇ = a₁ + 6d = 27
3) Вычтем первое из второго: 4d = 16 → d = 4
4) Тогда a₁ = 11 − 2 · 4 = 3
5) a₁₀ = a₁ + 9d = 3 + 36 = 39
6) S₁₀ = (a₁ + a₁₀) · 10 ÷ 2 = (3 + 39) · 5 = 210

Ответ: a₁ = 3, d = 4, S₁₀ = 210. Обрати внимание на шаг 3: вместо выражения одной переменной через другую мы просто вычли уравнения. Такой приём экономит время и снижает риск арифметической ошибки. Проверка быстрая: члены 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27 — седьмой действительно 27.

Хочешь проверить себя на похожих условиях и увидеть, где именно спотыкаешься? Заведи личный кабинет — задачи там идут от простых к экзаменационным, с разбором каждого шага.

Типичные ошибки и как их не допустить

Ошибка первая: n вместо n − 1 в формуле члена. Лечится привычкой выписывать первые члены вручную: если b₁ = 5, q = 2, то b₂ = 10, а не 20. Ошибка вторая: путаница d и q. Разность проверяется вычитанием соседей, знаменатель — делением, и это занимает пару секунд.

Ошибка третья — небрежность со степенью. Правило одно: qⁿ⁻¹. Помни, что любое число в нулевой степени равно 1, а отрицательный q в чётной степени даёт плюс. Ошибка четвёртая — потеря второго корня в уравнениях вида bₙ² = 64. Если в условии сказано, что члены положительны, берём только 8; если уточнения нет, корней два.

Ошибка пятая — счёт сумм без проверки данных. Прежде чем считать Sₙ, убедись, что знаешь a₁ и aₙ либо a₁ и d. Полезно и оценивать ответ на правдоподобие: сумма положительных членов не может быть отрицательной.

И отдельно прокачай чтение условий и графиков: близкое по духу умение разбирается в статье как читать и сопоставлять графики функций.

Что запомнить и что делать дальше

Главное: арифметическая прогрессия — про сложение, aₙ = a₁ + d(n − 1); геометрическая — про умножение, bₙ = b₁ · qⁿ⁻¹. Суммы считаются по формулам Sₙ = (a₁ + aₙ)n ÷ 2 и Sₙ = b₁(qⁿ − 1) ÷ (q − 1). Остальные задачи — комбинации этих четырёх строк.

Второе: индекс n − 1, знак разности или знаменателя и два корня в уравнениях с квадратом — три места, где чаще всего теряются баллы. Третье: любой разбор заканчивается проверкой. Подставь найденные a₁ и d в условие — сходится ли? Это пятнадцать секунд, которые спасают целый балл.

Что дальше? Открой бесплатную практику и реши пять заданий подряд: одно на арифметическую прогрессию, одно на геометрическую, одно на сумму, одно на поиск номера члена и одно смешанное. Такой короткий сет закрывает тему прочнее, чем час перечитывания конспекта.