Просто УрокГрафики функций: как читать и сопоставлять
Задание «найди график по формуле» кажется угадыванием. На самом деле у каждой функции есть три-четыре ярких признака, читаемых прямо из формулы. Разберём четыре графика школьного курса и соберём алгоритм сопоставления.
Зачем сопоставлять формулу и график
График — это портрет функции: по рисунку видно, растёт она или убывает, где пересекает оси. Формула выдаёт те же сведения по коэффициентам — если знать, куда смотреть. Кто владеет обоими языками, решает задание на сопоставление за минуту, без построения по точкам.
Школьный курс держится на четырёх графиках: прямая, парабола, гипербола и корень. Разберём признаки каждого.
Линейная функция: y = kx + b
\( y = kx + b \)
График — прямая. Коэффициент k отвечает за наклон: при k > 0 она растёт, при k < 0 убывает, чем больше |k|, тем круче. Число b — точка пересечения с осью y: подставь x = 0, останется y = b.
- y = 2x + 1: растёт, пересекает ось y в точке 1.
- y = −x + 4: убывает, пересекает ось y в точке 4.
- y = 3x: растёт и проходит через начало координат — b = 0.
Три прямые на одном рисунке различаются наклоном и точкой входа в ось y.
Парабола: y = ax² + bx + c
\( y = ax^2 + bx + c \)
Знак a задаёт ветви: a > 0 — вверх, a < 0 — вниз. Чем больше |a|, тем уже парабола. Число c — точка пересечения с осью y: при x = 0 остаётся y = c.
вершина: x₀ = −b / (2a)
Пример: y = x² − 4x + 3. Ветви вверх, вершина при x₀ = 2, ось y пересекается в точке 3. Этого достаточно, чтобы узнать график среди нескольких: ищи параболу с минимумом над точкой 2.
Гипербола: y = k / x
\( y = \dfrac{k}{x} \)
График — две ветви, которые прижимаются к осям, но никогда их не пересекают: чем ближе x к нулю, тем дальше убегает y. Знак k выбирает четверти: при k > 0 ветви в I и III, при k < 0 — во II и IV.
Проверь одну точку: для y = 3/x при x = 1 получим y = 3 — ветви в I и III четвертях. Для y = −3/x та же подстановка дала бы −3 и отправила бы график во II и IV.
Корень: y = √x
\( y = \sqrt{x} \)
График начинается в начале координат и уходит только вправо: под корнем не бывает отрицательных чисел. Вначале кривая поднимается быстро, потом всё медленнее: √4 = 2, √9 = 3, √16 = 4 — чтобы подняться ещё на единицу, x приходится увеличивать всё сильнее.
Для сопоставления запомни образ: «половинка параболы на боку», стартующая из нуля. Подтянуть свойства подкоренных выражений поможет статья про квадратные корни.
Ищи три признака: тип кривой, знак старшего коэффициента и пересечение с осью y. В девяти случаях из десяти этого хватает, а спорный уточняется одной точкой — быстрее любой таблицы значений.
Потренируй чтение графиков
В тренажёре ОГЭ можно собрать серию задач на нужную тему и решать её до автоматизма. Регистрация занимает минуту и ничего не стоит.
Алгоритм: как сопоставить формулы и рисунки
- Определи тип функции: x в знаменателе дроби — гипербола, x² — парабола, x под корнем — корень, остальное — прямая.
- Смотри на знак коэффициента: рост или спад, ветви вверх или вниз, четверти гиперболы.
- Найди пересечение с осью y подстановкой x = 0. У гиперболы его нет — вычёркивай кандидатов, «протыкающих» оси.
- Если остались два похожих варианта, проверь удобную точку, например x = 1.
Мини-разбор: даны y = 2x + 2, y = −x + 2 и y = x² + 2. Все три пересекают ось y в точке 2, но кривые разные: восходящая прямая, нисходящая прямая и парабола ветвями вверх. Тип и знак мгновенно разводят их по рисункам.
Встречается и обратная задача — прочитать готовый график: значения, нули функции, промежутки роста и убывания. Словарь тот же: где кривая поднимается — функция растёт, где опускается — убывает, пересечение с осью x — ноль функции. Точный перечень заданий с графиками в ОГЭ и ЕГЭ лучше уточнить на официальном сайте ФИПИ.
Строить график целиком не нужно: тип кривой, знак коэффициента и точка на оси y выбирают правильный рисунок быстрее любой таблицы значений. Рисуй только когда спорные точки не помогли.
Чтение графиков — сквозной навык: он нужен в алгебре, физике и на экзаменах. Если прямые вызывают вопросы, начни с линейных уравнений, а поведение параболы проще закрепить через квадратные неравенства — там формула и рисунок работают в паре.
Четыре графика, три признака и одна контрольная точка — этого достаточно, чтобы сопоставление стало лёгкими баллами. И помни: рядом всегда есть Просто Урок, где любую тему объяснят спокойно и по шагам.
Готовишься к экзаменам — не оставайся один
Задавай вопросы репетитору в любой момент, тренируй нужные номера и следи за прогрессом в личном кабинете. Бесплатно, в браузере, без установки.
Частые вопросы
Как определить тип функции по формуле?
Посмотри, где стоит x: в знаменателе дроби — гипербола, в квадрате — парабола, под корнем — график корня, в первой степени без дроби — прямая.
Что показывают k и b в линейной функции?
k — наклон прямой: при k > 0 она растёт, при k < 0 убывает. b — точка пересечения с осью y, потому что при x = 0 остаётся y = b.
Как по формуле понять, куда направлены ветви параболы?
По знаку коэффициента a: положительный — ветви вверх, отрицательный — вниз. Число c показывает, где парабола пересекает ось y.
Чем отличаются гиперболы с k > 0 и k < 0?
Расположением ветвей: при k > 0 они лежат в I и III четвертях, при k < 0 — во II и IV. Достаточно подставить x = 1 и посмотреть знак y.
Нужно ли строить график по точкам в задании на сопоставление?
Обычно нет. Тип кривой, знак коэффициента и пересечение с осью y дают ответ быстрее. Одна контрольная точка нужна только когда два варианта остаются похожими.