ОГЭ задание 15–19: геометрия (базовые задачи): разбор с решением

Задания 15–19 ОГЭ по геометрии: что там на самом деле спрашивают

Бывает так: алгебру ты решаешь уверенно, а на геометрии теряешь баллы просто потому, что «не видно, с чего начать». Обидно: задания 15–19 ОГЭ — базовые, сложные теоремы там не нужны. Достаточно десятка фактов и аккуратного счёта. Ниже — что именно проверяют, полные решения и список типичных ошибок.

Как устроены эти номера. Обычно это треугольники и их элементы, окружность и её углы, четырёхугольники и площади, задачи на клетчатой бумаге, а последний номер — выбор верных утверждений. Каждая задача стоит 1 балл, ответ короткий: число, которое вписывают в бланк. Поэтому важна не скорость, а внимательность при подстановке.

Темы повторяются из года в год, так что набить руку реально за пару недель. Начни с теории по элементам треугольника, а практику удобно отрабатывать в личном кабинете — задачи по темам с мгновенной проверкой: бесплатная практика в личном кабинете.

Треугольники: углы, медиана, биссектриса, высота

Базовый набор фактов. Сумма углов треугольника — 180°. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, а медиана, проведённая к основанию, одновременно является высотой и биссектрисой. Внешний угол равен сумме двух внутренних, не смежных с ним. В прямоугольном треугольнике работают теорема Пифагора и соотношения для углов 30°, 45°, 60°.

Отдельно разберись, чем отличаются медиана, биссектриса и высота: на экзамене их часто путают прямо в формулировке задания. Подробный разбор с чертежами есть в статье про медиану, биссектрису и высоту.

Задача. Катеты прямоугольного треугольника равны 6 и 8.
Найди гипотенузу, площадь и медиану к гипотенузе.
1) c² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100 → c = √100 = 10
2) S = (6 · 8) ÷ 2 = 24
3) медиана к гипотенузе равна её половине: m = 10 ÷ 2 = 5
Ответ: 10; 24; 5.

Типичные ошибки: складывают катеты вместо квадратов, делят произведение катетов на 4 вместо 2 и считают, что медиана к гипотенузе равна половине катета.

Окружность: вписанный угол, касательная, хорда

Три факта, которые дают баллы. Вписанный угол равен половине центрального, опирающегося на ту же дугу. Угол, опирающийся на диаметр, — прямой. Касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания, а радиус, перпендикулярный хорде, делит её пополам.

Задача. Центральный угол AOB равен 84°.
Найди вписанный угол ACB, опирающийся на ту же дугу AB.
1) вписанный угол вдвое меньше центрального
2) ∠ACB = 84° ÷ 2 = 42°
Ответ: 42.

Типичная ошибка — умножить вместо деления и получить 168°. Ещё одна: посчитать угол, опирающийся на другую дугу, хотя в условии указано, на какую именно. Внимательно читай, что опирается на дугу: хорда, угол или диаметр.

Четырёхугольники и площади: короткий справочник

Ключевые свойства. В параллелограмме противоположные стороны и углы равны, а диагонали точкой пересечения делятся пополам. В прямоугольнике диагонали равны, в ромбе они перпендикулярны и делят углы пополам. У трапеции основания параллельны, а средняя линия равна их полусумме.

Формулы площадей важно не зазубрить, а понимать — тогда они не выветриваются:

Пример. Основания трапеции 4 и 10, высота 6.
S = ((4 + 10) ÷ 2) · 6 = 7 · 6 = 42
Ответ: 42.

Частая ошибка: в формулу трапеции подставляют боковую сторону вместо высоты. Высота всегда перпендикулярна основаниям.

Клетчатая бумага и верные утверждения

Задачи на клетке решаются подсчётом. Длину отрезка находим по теореме Пифагора: диагональ клетки 1×1 равна √2, отрезок 2×1 — √5, а 3×4 — 5. Площадь фигуры удобно искать как площадь прямоугольника минус площади лишних треугольников.

Номер с утверждениями проверяет формулировки: «в любой трапеции…», «если…, то…». Правило простое: утверждение верно только тогда, когда нельзя придумать ни одного опровергающего примера. Нарисуй контрпример — и вариант отпадает.

Пример. «Если в параллелограмме диагонали равны, то он прямоугольник» — верно.
Пример. «Диагонали ромба равны» — неверно: они перпендикулярны.
Пример. «Сумма углов выпуклого четырёхугольника 360°» — верно.

Что запомнить и как двигаться дальше

Выжимка: сумма углов треугольника 180°; теорема Пифагора; вписанный угол вдвое меньше центрального; касательная перпендикулярна радиусу; формулы площадей треугольника, параллелограмма, трапеции, ромба и круга; средняя линия трапеции равна полусумме оснований. Этого набора хватает для большинства задач 15–19.

Порядок действий на экзамене: прочитай вопрос до конца → сделай чертёж → выпиши, что дано → выбери формулу → посчитай дважды → проверь, ту ли величину нашли.

Следующий шаг — закрепить на практике: зарегистрируйся в личном кабинете «Просто Урок» и реши 5 заданий бесплатно, по одному из каждой темы. Проверка покажет, где именно теряются баллы. А если после ОГЭ планируешь физику, загляни в разбор демоверсии ЕГЭ по физике 2027 — геометрия там тоже пригодится.