Последовательности: что это: задачи с решениями и ответами

1. Что такое последовательность

Последовательность — это упорядоченный ряд чисел, где каждому номеру соответствует свой член. В 9 классе важно не просто выучить определение, а научиться быстро находить нужное число, разность, сумму или закономерность. Разберём тему на понятных шагах, чтобы задания перестали казаться набором случайных символов.

Члены последовательности обозначают так: a₁, a₂, a₃ и далее. Нижний индекс показывает номер, а не степень. Например, если aₙ = 3n − 1, то a₁ = 2, a₂ = 5, a₃ = 8.

aₙ = 3n − 1
a₁ = 3 · 1 − 1 = 2
a₄ = 3 · 4 − 1 = 11

Сначала подставь нужный номер вместо n, затем аккуратно выполни действия. Типичная ошибка — считать a₃ как 3³ или забывать скобки в выражении вроде aₙ = 2(n − 1). Если хочется дополнительно потренироваться в вычислениях, загляни в материал про задание 1 ОГЭ.

Последовательность может быть задана формулой, списком или правилом перехода от одного члена к следующему. Умение узнавать способ задания помогает выбрать короткий путь решения.

2. Арифметическая последовательность

Арифметической называют последовательность, в которой каждый следующий член получают прибавлением одного и того же числа. Это число называют разностью и обозначают d. Если d положительна, ряд растёт; если отрицательна — уменьшается; при d = 0 все члены одинаковы.

Основные формулы: aₙ = a₁ + (n − 1) · d и Sₙ = (a₁ + aₙ) · n ÷ 2. Для поиска разности можно вычесть соседние члены: d = a₂ − a₁.

7, 11, 15, 19, …
d = 11 − 7 = 4
a₅ = 7 + 4 · 4 = 23

Ошибка — подставить n вместо n − 1. Пятый член получается после четырёх переходов от первого, поэтому множитель равен 4. Полезно записывать хотя бы первые два шага, а не считать всё устно.

3. Геометрическая последовательность

В геометрической последовательности каждый следующий член получают умножением предыдущего на одно и то же число q. Его называют знаменателем прогрессии. Формула общего члена: bₙ = b₁ · qⁿ⁻¹. Здесь показатель показывает число переходов от первого члена.

Например, в ряду 2, 6, 18, 54 знаменатель равен 3. Чтобы проверить это, раздели второй член на первый, а третий — на второй. Если частное одинаково, правило найдено.

b₁ = 2, q = 3
b₄ = 2 · 3³ = 2 · 27 = 54
Ответ: b₄ = 54

Разберём решение полностью: в задаче дано b₁ = 5, q = 2, требуется найти b₆. Подставляем значения в формулу: b₆ = 5 · 2⁶⁻¹ = 5 · 2⁵ = 5 · 32 = 160. Значит, шестой член равен 160.

Частая ошибка — использовать арифметическую формулу и прибавлять q. Другая проблема — потерять скобки, если знаменатель отрицателен: при q = −2 степень нужно считать целиком. Для повторения операций со степенями можно посмотреть материал о квадратных уравнениях и дискриминанте.

4. Как находить неизвестный член

В задачах могут дать несколько членов и попросить восстановить пропуск. Сначала определи тип последовательности. Для арифметической проверь постоянную разность, для геометрической — одинаковое отношение соседних членов.

Если известны a₃ и a₇ арифметической последовательности, между ними три одинаковых шага: a₇ = a₃ + 4d. Поэтому d = (a₇ − a₃) ÷ 4. После этого можно найти любой член.

a₃ = 10, a₇ = 26
26 = 10 + 4d
4d = 16, d = 4
a₁ = 10 − 2 · 4 = 2

Проверка даёт ряд 2, 6, 10, 14, 18, 22, 26. Она занимает несколько секунд, но помогает заметить ошибку в знаке или количестве переходов. Если пропуск расположен внутри ряда, иногда быстрее разделить разницу между крайними известными членами на число промежутков.

Типичная ошибка — разделить на число членов, а не промежутков. Между седьмым и третьим членами четыре перехода, хотя самих крайних чисел два. Ещё одна ошибка — не проверить полученный ряд обратной подстановкой.

В геометрической задаче действуй аналогично, но используй степени: b₇ = b₃ · q⁴. Такой подход превращает сложное условие в обычное уравнение.

5. Сумма членов и задачи на закономерность

Когда требуется сложить первые члены арифметической последовательности, не складывай их по одному. Используй Sₙ = (a₁ + aₙ) · n ÷ 2. Формула работает потому, что первый и последний, второй и предпоследний члены дают одинаковую сумму.

Найти сумму: 4 + 7 + 10 + 13 + 16
a₁ = 4, a₅ = 16, n = 5
S₅ = (4 + 16) · 5 ÷ 2 = 50

Если ряд задан не формулой, выпиши несколько членов и посмотри, что меняется: прибавляется одно число, умножается на одно число или чередуются правила. Иногда закономерность состоит в чередовании знаков или двух разных шагов.

Например, в последовательности 1, 4, 9, 16 числа являются квадратами: 1², 2², 3², 4². Тогда следующий член равен 5² = 25. Нельзя объявлять ряд арифметическим только потому, что первые числа увеличиваются.

Самая частая ошибка — применять формулу суммы к геометрической последовательности без проверки типа. Перед вычислением подчеркни, что именно постоянно: разность или отношение. После ответа оцени его приблизительно: сумма пяти чисел от 4 до 16 действительно около 50.

6. Что запомнить

Последовательность — это числа, связанные с номерами. Для арифметической последовательности постоянна разность d, общий член равен a₁ + (n − 1) · d, а сумма первых n членов находится через среднее первого и последнего. Для геометрической постоянен знаменатель q, и используется умножение на qⁿ⁻¹.

Алгоритм решения простой: прочитай условие, выпиши известные данные, определи тип последовательности, выбери формулу, подставь значения и проверь ответ по первым членам. Если правило неясно, составь небольшой список чисел — закономерность часто становится видимой.

Арифметическая: aₙ = a₁ + (n − 1) · d
Сумма: Sₙ = (a₁ + aₙ) · n ÷ 2
Геометрическая: bₙ = b₁ · qⁿ⁻¹

Закрепи тему практикой: зарегистрируйся и реши 5 заданий бесплатно в личном кабинете. Так ты увидишь, какая формула уже получается уверенно, а где нужна ещё одна попытка.

Не забывай о проверке: соседние члены должны соответствовать найденному правилу. Ошибка в одном индексе меняет весь ответ, поэтому аккуратная запись здесь важнее скорости.