Вероятность случайного события: как считать: задачи с решениями и ответами

1. Что такое вероятность случайного события

Вероятность часто кажется темой, где нужно угадывать, но на самом деле большинство задач решается по понятному алгоритму. Если ты путаешься в словах «исход», «событие» и «благоприятный результат», разберём их сейчас и научимся считать вероятность спокойно.

Случайный опыт — это действие с заранее неизвестным результатом: бросок кубика, выбор карточки, подбрасывание монеты. Исход — один конкретный результат опыта. Событие — условие, которое может выполниться или не выполниться. Например, при броске кубика событие «выпало чётное число» включает исходы 2, 4 и 6.

Если все исходы равновозможны, используют правило: вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к числу всех исходов.

P = число благоприятных исходов ÷ число всех исходов
Бросок кубика: P(чётное число) = 3 ÷ 6 = ½

Типичная ошибка — считать только благоприятные исходы и забывать общее количество. Перед вычислением всегда выпиши полный список возможных результатов.

2. Как считать вероятность по формуле

Главный алгоритм состоит из трёх шагов. Сначала определи, что именно происходит в опыте. Затем посчитай все равновозможные исходы. После этого найди исходы, подходящие под условие задачи, и раздели их количество на общее число.

Рассмотрим выбор одной буквы из слова «МАТЕМАТИКА». В слове десять букв, но буква А встречается три раза. Если карточки с буквами перемешали и выбирают одну, каждый экземпляр буквы считается отдельным исходом.

Всего карточек: 10
Благоприятных карточек с буквой А: 3
P(А) = 3 ÷ 10 = 0,3

Ответ можно записывать обычной дробью, десятичной дробью или процентом: 0,3 = 30%. Вероятность всегда находится от 0 до 1. Нельзя получить отрицательное значение или число больше единицы.

Ошибка: считать разные буквы, а не карточки. Повторяющиеся предметы всё равно являются разными возможными исходами.

3. Противоположное событие и задачи на дополнение

Иногда проще посчитать не само событие, а противоположное ему. Противоположное событие происходит тогда, когда исходное не происходит. Например, для события «выпало хотя бы одно число 6» противоположным будет «шестёрка не выпала».

Вероятности события и противоположного события в сумме дают единицу. Поэтому можно вычесть известную вероятность из 1.

P(событие) + P(противоположное событие) = 1
P(событие) = 1 − P(противоположное событие)

Пример: в коробке 8 красных и 2 синих карандаша. Вероятность достать не синий карандаш можно найти напрямую: 8 ÷ 10 = 0,8. Но если спрашивают вероятность «не достать синий», иногда удобнее сначала найти вероятность синего: 2 ÷ 10 = 0,2, затем вычислить 1 − 0,2 = 0,8.

Такой приём особенно полезен в формулировках «хотя бы один», «не менее одного», «не случится». Ошибка — заменить «не менее двух» на «ровно два»: это разные события, и набор благоприятных исходов будет отличаться.

Для дополнительной тренировки задач с разными условиями можно обратиться к материалу по повторению задания 19 ОГЭ.

4. Полностью разобранная задача

Разберём типичную задачу. В мешке лежат 5 белых, 3 чёрных и 2 зелёных шара. Наугад достают один шар. Найди вероятность того, что он окажется белым или зелёным.

Сначала считаем общее число шаров: 5 + 3 + 2 = 10. Событие «белый или зелёный» включает два подходящих цвета, поэтому благоприятных шаров 5 + 2 = 7. Слово «или» здесь означает объединение вариантов, а не дополнительное действие после первого вытаскивания.

Всего шаров: 5 + 3 + 2 = 10
Благоприятных шаров: 5 + 2 = 7
P = 7 ÷ 10 = 0,7
Ответ: 0,7, или 70%

Проверим результат: 0,7 находится между 0 и 1, значит, вычисление выглядит правдоподобно. Если бы спрашивали вероятность чёрного шара, ответ был бы 3 ÷ 10 = 0,3; вместе вероятности трёх цветов дают 1.

Типичная ошибка — взять в знаменатель только белые и зелёные шары. В знаменателе всегда должны быть все предметы, из которых выбирают.

5. Типичные ошибки и самостоятельная практика

Первая ошибка — неверно определить пространство исходов. При броске двух монет исходами являются пары результатов, а не только «орёл» и «решка». Вторая ошибка — не учитывать повторяющиеся предметы. Третья — путать вероятность одного события с вероятностью двух последовательных действий.

Если предмет выбирают один раз, применяется обычное отношение. Если опыт повторяют, внимательно прочитай, возвращают ли предмет обратно. Без возвращения состав меняется, а значит, меняется и вероятность следующего выбора.

Например, из набора 4 зелёных и 6 жёлтых фишек достают одну. Вероятность зелёной равна 4 ÷ 10 = 0,4. Если фишку не возвращают и достают вторую, для второй попытки знаменатель уже равен 9.

Не спеши сокращать дробь до того, как проверишь числитель и знаменатель. Полезно решать задания по теме небольшими сериями: сначала простые выборы, затем противоположные события и только потом последовательные опыты. Бесплатная практика доступна в личном кабинете, где можно сразу проверить решение.

Ещё одна ошибка — отвечать процентом без перевода: ¾ = 0,75 = 75%, а не 0,75%. При необходимости повтори тему процентов в материале о концентрации растворов: там также важно правильно соотносить части и целое.

6. Что запомнить

Вероятность случайного события показывает, насколько часто оно может произойти среди равновозможных исходов. Основная формула проста: число подходящих исходов раздели на число всех исходов. Сначала внимательно определи опыт, затем выпиши общее количество вариантов и только после этого считай благоприятные.

Проверяй себя тремя способами: вероятность должна быть от 0 до 1, знаменатель должен описывать все возможные исходы, а ответ должен соответствовать условию. Для события «не произошло» используй противоположное событие и вычитание из 1.

Если хочешь закрепить тему, зарегистрируйся и реши 5 заданий бесплатно в личном кабинете для практики. После каждого ответа разбирай не только ошибку, но и место, где неверно определил исходы.

Главный следующий шаг — взять лист, придумать три опыта из повседневной жизни и для каждого указать все исходы, благоприятные исходы и вероятность.