ЕГЭ база: задание 14 — графики и производная

Задание 14 в базовом ЕГЭ: что от тебя хотят

Задание 14 в базовом ЕГЭ по математике — самое «графическое» в работе. Никаких длинных вычислений: на рисунке дана кривая или график её производной, и нужно ответить на один короткий вопрос. Многие теряют этот балл просто потому, что пугаются картинки и начинают угадывать.

Хорошая новость: здесь всё решается несколькими правилами, которые укладываются в одну страницу. Дочитав разбор, ты перестанешь бояться графиков и научишься вытаскивать ответ за минуту — столько времени на это задание обычно и уходит.

В реальных вариантах встречаются три сюжета: найти значение производной по касательной, посчитать точки с положительной производной, определить точку экстремума. Нужны всего три умения: читать координаты, понимать геометрический смысл производной и видеть возрастание и убывание. Попутно полезно повторить чтение графиков из разбора задания 6 базы: там та же логика, только без производной.

Касательная и тангенс угла наклона

Производная в точке — это угловой коэффициент касательной, проведённой к графику в этой точке. Если прямая наклонена, её коэффициент равен тангенсу угла с осью Ox.

f′(x₀) = tg α = k
α — угол между касательной и положительным направлением оси Ox
k — угловой коэффициент прямой y = kx + b

Как считать по рисунку: возьми на касательной две точки с целыми координатами, построй прямоугольный треугольник и раздели вертикальный катет на горизонтальный.

k = Δy ÷ Δx = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁)

Пример: касательная проходит через точки (1; 2) и (3; 6). Тогда k = (6 − 2) ÷ (3 − 1) = 4 ÷ 2 = 2, значит f′(x₀) = 2. Если прямая идёт вниз слева направо, тангенс и производная отрицательны.

Типичная ошибка — перевернуть дробь и посчитать Δx ÷ Δy. Держи в голове: тангенс — это «подъём, делённый на пробег».

Знак производной: где функция растёт и падает

Второй тип сюжета строится на знаке производной. Правило короткое и работает всегда.

f′(x) > 0 на промежутке → функция возрастает
f′(x) < 0 на промежутке → функция убывает

Если на рисунке график производной, смотри, где он выше оси Ox — там функция растёт, где ниже — падает. Если дан график самой функции, смысл тот же, только ответ читается по наклону кривой: идёт вверх — производная положительна.

Частая формулировка: «Найдите количество целых точек, в которых производная положительна». Решение: отмечаешь на оси Ox целые значения (…−2, −1, 0, 1, 2…) и считаешь те, где график производной выше нуля. Точки, где график пересекает ось, не считаются: там производная равна нулю, а не больше нуля.

Ошибка номер два — взять значения по оси Oy вместо абсцисс. Вопрос всегда про x, вертикальная ось нужна только для определения знака. Хочешь проверить себя на десятке похожих рисунков — заведи личный кабинет и прогони короткие задания подряд.

Точки экстремума: максимум и минимум

Производная отвечает за «повороты» графика. Там, где она меняет знак, функция меняет направление движения — это точки экстремума.

f′ меняет «+» на «−» → точка максимума
f′ меняет «−» на «+» → точка минимума
f′(x) = 0, но знак не меняется → экстремума нет

Различай вопросы: «точка экстремума» — это абсцисса x, а «максимум функции» или «минимум функции» — это значение y. В базовом ЕГЭ чаще спрашивают именно точку, то есть координату по горизонтальной оси.

На графике функции максимум виден как вершина горки, минимум — как дно впадины. На графике производной максимум — место, где линия пересекает ось сверху вниз, а минимум — снизу вверх. Похожие сюжеты с чтением графиков разобраны в повторении задания 14 из ОГЭ.

Типичная ошибка — назвать экстремумом точку, где производная просто равна нулю, но знак не поменялся: например, «полочка» у ломаной или касание оси без перехода.

Полный разбор примера и сравнение рисунков

Разберём типичный вариант целиком.

Условие. На рисунке изображён график производной f′(x) функции f(x), определённой на интервале (−5; 5). Найдите количество точек, в которых касательная к графику f(x) параллельна прямой y = 2x + 7.

Шаг 1. У параллельных прямых равны угловые коэффициенты: k = 2.
Шаг 2. Касательная параллельна → f′(x) = k = 2.
Шаг 3. Проводим на рисунке горизонтальную прямую y = 2.
Шаг 4. Считаем пересечения с графиком производной: их три.
Ответ: 3.

Алгоритм универсален: любой вопрос про касательную превращается в уравнение f′(x) = k, которое решается глазами по рисунку.

Ещё одна мелочь: интервал в условии задаёт границы. Точки за его пределами не считаем, даже если линия там уходит вверх или вниз.

Что запомнить

Соберём главное в короткий список. Производная в точке равна угловому коэффициенту касательной: f′(x₀) = tg α = Δy ÷ Δx. Положительная производная — функция растёт, отрицательная — падает, ноль — точка возможного экстремума. Экстремум есть только там, где знак производной меняется: с «+» на «−» это максимум, с «−» на «+» минимум. Вопрос про касательную решается подстановкой её коэффициента в уравнение f′(x) = k. Вопрос про целые точки — подсчётом абсцисс в нужной зоне.

И главное правило дисциплины: сначала прочитай, что изображено, потом читай вопрос, и только потом считай клетки. Эти три секунды экономят балл.

Дальше — практика. Зарегистрируйся в личном кабинете и реши 5 заданий бесплатно: короткая серия закрепит тему лучше, чем ещё один прочитанный разбор. Если после первой пятёрки ошибок нет — увеличь темп и добавь рисунки с производной, а не с функцией.