ЕГЭ база: задание 4 — уравнения

Задание 4 в ЕГЭ по базовой математике: что от тебя хотят

Открываешь вариант базового ЕГЭ, доходишь до четвёртого задания — и видишь уравнение. Иногда простое, иногда с дробью, корнем или степенью. Сразу успокою: задание 4 проверяет не математическую гениальность, а аккуратность. Все уравнения здесь решаются школьными алгоритмами из 7–11 классов, олимпиадных идей не требуется.

Формулировка почти всегда одна: «Решите уравнение. В ответе укажите корень, больший корень или сумму корней». Ответ — целое число или конечная десятичная дробь. Значит, цель не «догадаться», а довести решение до числа.

У уверенного ученика уходит 3–5 минут, у того, кто путается в знаках, — 10–12 минут и потерянный балл. Разница только в отработке. Хочешь увидеть, как те же приёмы работают на другом экзамене, — загляни в разбор задания 22 ОГЭ по математике: там те же уравнения, только чуть добрее.

Удобный старт — короткие тренировки в личном кабинете: решаешь по одной теме и сразу видишь, где именно ошибся.

Линейные и квадратные уравнения: база, с которой всё начинается

Линейное уравнение выглядит как ax = b. Решаем в два движения: слагаемые с иксом — влево, числа — вправо, потом делим на коэффициент. Главная привычка — менять знак при переносе. Именно здесь теряется больше всего баллов, причём обидно: идея верная, а ответ нет.

Квадратное уравнение ax² + bx + c = 0 решаем через дискриминант D = b² − 4ac. Если D > 0 — два корня, D = 0 — один, D < 0 — корней нет. Корни считаем по формуле x = (−b ± √D) ÷ (2a).

Теорема Виета экономит время, когда корни целые: x₁ + x₂ = −b ÷ a, x₁ · x₂ = c ÷ a. Подбираешь числа устно — дискриминант уже не нужен.

Типичная ошибка: в задании нужен больший корень, а в бланк уходит меньший. Второй промах — потеря минуса в формуле корней.

Дробные и иррациональные уравнения: разбор до конца

Здесь появляются два новых слова: ОДЗ и проверка. ОДЗ — это условия, при которых выражение вообще имеет смысл. Знаменатель не равен нулю, под корнем чётной степени — не отрицательное число, под логарифмом — только положительное.

Разберём уравнение полностью, по шагам.

Условие: (x + 3) ÷ (x − 5) = 2
1) ОДЗ: x − 5 ≠ 0, значит x ≠ 5
2) Умножаем обе части на (x − 5): x + 3 = 2 · (x − 5)
3) Раскрываем скобки: x + 3 = 2x − 10
4) Переносим: 3 + 10 = 2x − x, получаем x = 13
5) Проверка: (13 + 3) ÷ (13 − 5) = 16 ÷ 8 = 2 — верно
Ответ: 13

С иррациональными уравнениями логика похожая: √(x + 2) = 3 → возводим в квадрат → x + 2 = 9 → x = 7. Подставляем: √9 = 3, всё сходится.

А вот √(x + 1) = x − 1 после возведения в квадрат даёт два корня, и один из них лишний. Поэтому проверка здесь — не формальность, а часть решения.

Показательные, логарифмические и простейшая тригонометрия

Показательное уравнение решается приведением к одному основанию. Как только слева и справа стоят одинаковые основания, сравниваем показатели.

2^x = 8 → 2^x = 2³ → x = 3
3^(x + 1) = 27 → 3^(x + 1) = 3³ → x + 1 = 3 → x = 2
log₂ x = 3 → x = 2³ = 8, ОДЗ: x > 0
log₃ (x − 1) = 2 → x − 1 = 9 → x = 10, ОДЗ: x > 1

В логарифмических уравнениях главное — помнить определение: log₂ x = 3 означает, что двойка в третьей степени равна иксу. И не забывать про ОДЗ, иначе в ответ уйдёт корень, который не подходит.

Тригонометрия в базе встречается редко и только простейшая: sin x = ½, cos x = 1, tg x = 1. Ответ обычно ограничен отрезком, поэтому внимательно читай условие — там прямо сказано, какие значения брать.

Типичная ошибка: забыть, что под логарифмом может стоять только положительное число, и записать корень, который даёт log₂(−8).

Если хочешь закрепить именно эти типы, открой подборку в личном кабинете и реши десять похожих примеров подряд.

Как оформлять решение и проверять ответ

В базовом ЕГЭ оформление почти не оценивают, но свои записи спасают от ошибок. Пиши каждый шаг с новой строки. Не считай в голове два действия сразу — именно там прячутся потери знака и лишние двойки.

Получил корень — вернись к исходному уравнению и подставь его. Двадцать секунд, зато сразу видно, где ошибся. Это правило работает и с дробями, и с корнями, и с логарифмами.

Отдельно проверяй условия: знаменатель не ноль, под корнем не отрицательное, под логарифмом положительное. Если корень нарушает условие — он не корень, и в ответ его писать нельзя.

А если домашка превращается в крик и слёзы, помогут спокойные правила: короткие подходы по 15 минут и разбор ошибок без обвинений. Подробнее — в статье о том, как не сорваться на крик над домашкой.

Что запомнить

Задание 4 в базе — это про алгоритмы и внимательность, а не про вдохновение. Линейное уравнение: перенеси и раздели. Квадратное: дискриминант или Виета, а потом посмотри, какой корень просят. Дробное: сначала ОДЗ, потом умножение на знаменатель. С корнем: возведи в квадрат и обязательно проверь. Показательное: приведи к одному основанию.

Четыре привычки закрывают почти все ошибки: менять знак при переносе, выписывать ОДЗ, подставлять найденный корень в исходное уравнение и перечитывать, что именно спрашивают в ответе.

Дальше — только практика. Разбери один пример по шагам, затем реши пять похожих, меняя числа. Следующий шаг простой: зарегистрируйся и реши 5 заданий бесплатно — это займёт минут пятнадцать, а ты сразу увидишь, какие типы уже идут легко, а какие стоит повторить.