Задание 22 ОГЭ по математике: как решать

Что проверяет задание 22

Задание 22 находится во второй части ОГЭ и требует развёрнутого ответа: обычно нужно построить график функции и ответить на дополнительный вопрос — например, при каком значении прямая пересекает график заданное число раз. В первой части графики только читают по готовому рисунку, здесь же строить придётся самому. Формулировки меняются от года к году, поэтому перед экзаменом сверяйся с демоверсией ФИПИ.

Какие функции встречаются

Набор скромный, и у каждой функции свой характерный рисунок:

• линейная y = kx + b — прямая;
• квадратичная y = ax² + bx + c — парабола;
• обратная пропорциональность y = k/x — гипербола;
• функция с корнем y = √x — плавная ветвь;
• кусочная функция — склейка из нескольких формул на разных промежутках.

Зная характерный рисунок, ты строишь график по двум-трём опорным точкам, а не по десяткам. Поэтому первый шаг любого решения — узнать тип функции и вспомнить, как она выглядит.

Пример: построение графика по шагам

Классический сюжет задания 22: функция задана дробью, которую можно упростить.

\( y = \dfrac{x^2 - 4x + 3}{x - 1} \)

1. Находим область определения: знаменатель не равен нулю, значит x ≠ 1.
2. Раскладываем числитель на множители: x² − 4x + 3 = (x − 1)(x − 3).
3. Сокращаем дробь: при x ≠ 1 функция равна y = x − 3.
4. Строим прямую y = x − 3 по двум точкам, например (0; −3) и (3; 0).
5. Отмечаем выколотую точку: при x = 1 получается y = −2, и точка (1; −2) не принадлежит графику — рисуем пустой кружок.

Выколотая точка и дополнительный вопрос

К построению обычно прилагается вопрос вида: при каком значении c прямая y = c не имеет с графиком ни одной общей точки? Горизонтальная прямая пересекает нашу наклонную линию ровно один раз при любом c — кроме случая, когда она проходит через выколотую точку. Значит, ответ: c = −2.

Без учёта выколотой точки ответ был бы «таких значений нет». Именно на этой ловушке задание и построено: сокращение дроби почти всегда оставляет на графике пустой кружок, и его нельзя терять.

Кусочные функции

Кусочная функция — это склейка: на одном промежутке действует одна формула, на другом — другая. Строим каждую ветвь только на её промежутке и внимательно проверяем точки стыковки.

y = x при x ≤ 2 · y = 4 − x при x > 2

Первая ветвь — возрастающая прямая до точки (2; 2), вторая — убывающая прямая после неё. График поднимается до вершины и опускается, значит наибольшее значение равно 2. Точка стыковки задана условием x ≤ 2, поэтому принадлежит первой ветви и рисуется закрашенной.

Вопросы к кусочным функциям обычно про поведение: сколько раз горизонтальная прямая пересекает график, где функция возрастает и убывает, какое наибольшее или наименьшее значение она принимает. Ответ ищи по рисунку, а не в формуле — рисунок для того и строится.

Как читать график

Чтение готового графика — вторая половина навыка. Проверяй по списку:

• нули функции — точки пересечения с осью x;
• промежутки возрастания и убывания — куда идёт линия слева направо;
• наибольшее и наименьшее значение — самая высокая и низкая точка, берётся координата y;
• точка пересечения с осью y — значение функции при x = 0.

Отдельно тренируется сопоставление формул и рисунков: это тема про графики функций, где разобраны парабола, гипербола и корень.

Оформление и типичные ошибки

• забыть про область определения и не отметить выколотую точку;
• нарисовать параболу угловатой ломаной вместо плавной линии;
• соединить ветви кусочной функции там, где между ними разрыв;
• ответить на вопрос задачи без построения графика;
• перепутать координату x со значением функции y при ответе.

Развёрнутый ответ здесь двухчастный: график и ответ на вопрос. Рисуй аккуратно, подписывай характерные точки — вершины, нули, пустые кружки: проверяющий должен видеть, откуда взят ответ. Критерии оценивания сверяй с демоверсией ФИПИ.

Задание 22 идёт по соседству с текстовой задачей — заданием 21 ОГЭ, так что готовить их удобно в паре. Подтянуть теорию помогут материалы про графики функций и линейную функцию с графиками за седьмой класс.

И помни: рядом всегда есть Просто Урок, где любую тему объяснят спокойно и по шагам.