ЕГЭ база: задание 8 — геометрия на клетке

Что проверяет задание 8 базового ЕГЭ

Знакомая картина: условие с клетчатой сеткой, фигура стоит «косо» между линиями, и непонятно, какую формулу вообще брать. Именно так выглядит задание 8 базового ЕГЭ по математике — планиметрия на клетке. Обидно терять балл там, где нет ни логарифмов, ни тригонометрии, а только внимательность и пара приёмов. Ниже разберём эти приёмы по шагам, чтобы ты решал такие задачи за минуту и без паники.

В задании 8 дают фигуру на клетчатой бумаге и просят найти площадь, длину отрезка, расстояние от точки до прямой или угол. Ответ — целое число или конечная десятичная дробь, которую нужно вписать в бланк. Клетка обычно равна 1×1, реже сторону указывают отдельно — читай условие внимательно.

Ключевая идея: сетка — это готовые координаты и готовые прямоугольные треугольники. Любую наклонную линию можно «запереть» в прямоугольник и посчитать её длину по теореме Пифагора, а площадь сложной фигуры — через достроение или формулу Пика.

Площадь фигуры: три рабочих способа

Способ первый — прямые формулы. Если основание идёт по линии сетки, а высота опускается на него под прямым углом, хватает таблицы.

Способ второй — достроение до прямоугольника. Опиши фигуру прямоугольником по линиям сетки, посчитай его площадь и вычти лишние части. Каждая лишняя часть — прямоугольный треугольник, его площадь считается в уме: половина произведения катетов.

Способ третий — формула Пика. Она работает, если все вершины лежат в узлах сетки: S = В + Г/2 − 1, где В — число узлов внутри, Г — число узлов на границе.

Пример: внутри 9 узлов, на границе 8 узлов. Тогда S = 9 + 8/2 − 1 = 9 + 4 − 1 = 12.

Если база по геометрии совсем просела, начни с разбора геометрии с нуля — там те же идеи, но медленнее и подробнее.

Длины, расстояния и теорема Пифагора

Наклонный отрезок на клетке — это гипотенуза прямоугольного треугольника. Катеты считаешь по клеткам, дальше теорема Пифагора: c² = a² + b², откуда c = √(a² + b²).

Отрезок из A(1; 1) в B(4; 5):
катеты: 4 − 1 = 3 и 5 − 1 = 4
длина: √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5
Ответ: 5

Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра. На клетке перпендикуляр строить легко, если прямая горизонтальна, вертикальна или идёт по диагонали клеток: тогда перпендикуляр идёт по другой диагонали.

Если нужна медиана или высота, сначала определи координаты точки по клеткам, а потом считай отрезок через Пифагор. Не оценивай на глаз: глаз на клетке врёт примерно на полклетки, а это уже другой ответ.

Короткие задачи с автопроверкой есть в личном кабинете, а если целишься в профиль, посмотри разбор задания 11 профиля.

Окружность, круг и сектор на клетке

Круг на клетке задают через радиус или диаметр. Площадь круга S = πR², длина окружности C = 2πR. Радиус ищи от центра: центр обычно лежит на пересечении линий сетки или в середине клетки.

Если окружность проходит через узлы, радиус удобно считать как гипотенузу: центр в точке (0; 0), точка окружности в (3; 4), тогда R = √(3² + 4²) = 5.

Пример: круг радиуса 3. Площадь S = π · 3² = 9π ≈ 28,26, длина окружности C = 2π · 3 = 6π ≈ 18,84.

Сектор — часть круга. Если угол сектора 90°, бери ¼ площади круга; если 60° — ⅙; если 120° — ⅓. Смотри, какую долю от 360° занимает угол.

Частая ошибка — подставить в формулу диаметр вместо радиуса. Диаметр в два раза больше, а в квадрате это уже четырёхкратная разница.

Типичные ошибки на клетке

Ошибка первая — считать клетки «по диагонали» как единицы длины. Диагональ клетки равна √2 ≈ 1,41, а не 1. Если отрезок идёт наискось, всегда считай катеты.

Ошибка вторая — путать высоту с боковой стороной. В параллелограмме и трапеции высота — это перпендикуляр между основаниями, а не наклонная сторона.

Ошибка третья — забыть про ½ в площади треугольника. Самая частая и самая обидная.

Ошибка четвёртая — округлять раньше времени. Считай точно, округляй только в самом конце и только если это разрешено условием.

Разбор своих ошибок с пояснениями доступен в личном кабинете — это быстрее, чем перечитывать теорию.

Что запомнить

Запомни три вещи: наклонный отрезок — это гипотенуза, площадь сложной фигуры — это прямоугольник минус лишнее, а радиус круга находится от центра, а не «на глаз». Этого хватает, чтобы уверенно закрывать задание 8.

Порядок действий: прочитай, что именно ищут; отметь катеты по клеткам; выбери формулу; посчитай точно; проверь, похож ли ответ на правду по рисунку.

Дальше — только практика. Зарегистрируйся в личном кабинете и реши 5 заданий бесплатно: тренажёр покажет, где ты ошибся, и подскажет, какую формулу повторить.