Задание 11 ЕГЭ по математике (профиль): как решать

Что это за задание

В задании 11 профильного ЕГЭ дают рисунок с графиком на клетчатой сетке и формулу, в которой один коэффициент скрыт за буквой. Нужно посмотреть на график, снять с него координаты подходящих точек и вычислить этот коэффициент. Задание первой части: ответ краткий, записывается числом, развёрнутое решение не оформляется.

Теоретическая база минимальна: надо помнить вид линейной функции и параболы и понимать главную связь формулы с рисунком — график состоит ровно из тех точек, координаты которых обращают формулу в верное равенство.

точка (x₀; y₀) лежит на графике f(x) ⇔ f(x₀) = y₀

Линейная функция: находим k и b

Линейная функция задаётся формулой y = kx + b, а её график — прямая. У коэффициентов наглядный смысл, и это сильно упрощает чтение рисунка.

• b — где прямая пересекает ось Oy: подставь x = 0, получишь y = b. Посмотри, в какой точке прямая пересекает вертикальную ось, — это и есть b.
• k — наклон прямой: на сколько меняется y, когда x увеличивается на единицу. Практически: возьми две точки прямой и раздели изменение y на изменение x.

k = Δy / Δx — изменение y, делённое на изменение x

Если b по рисунку найти не получается (пересечение с осью не попало в кадр), не страшно: сначала найди k по двум точкам, а затем подставь координаты любой точки в уравнение y = kx + b и вырази b.

Разбор примера по шагам

Типовой сюжет: на рисунке изображена прямая, которая проходит через точки (2; 1) и (4; 5). Задана функция y = kx + b. Найдите k.

1. Считаем наклон: k = Δy / Δx = (5 − 1) / (4 − 2) = 4 / 2 = 2.
2. Ответ: k = 2.

Если бы спросили b, продолжаем: подставим точку (2; 1) в уравнение y = 2x + b. Получим 1 = 2 · 2 + b, откуда b = 1 − 4 = −3.

Проверка: при x = 4 получаем y = 2 · 4 − 3 = 5 — вторая точка сошлась. Значит, оба коэффициента найдены верно. Такая подстановка занимает секунды и сразу показывает, нет ли арифметической ошибки.

Парабола: читаем коэффициенты

Вторая частая картинка задания 11 — парабола y = ax² + bx + c. Здесь тоже работают визуальные подсказки, и с них стоит начинать.

• c — ордината пересечения параболы с осью Oy: при x = 0 остаётся y = c.
• Корни параболы — точки пересечения с осью Ox: их абсциссы читаются прямо с рисунка.
• Знак a виден по ветвям: ветви вверх — a > 0, ветви вниз — a < 0.

Если известны корни x₁ и x₂ и одна точка, удобно пользоваться формой y = a(x − x₁)(x − x₂): подставь корни с рисунка, затем координаты точки и найди a. Если корней на рисунке нет, работай через вершину или просто подставляй координаты отмеченных точек в общий вид — принцип тот же, что и с прямой.

Разбирать такие картинки легче, когда уверенно знаешь, как по формуле предсказывать вид графика: мы подробно писали об этом в статье про чтение и сопоставление графиков функций.

Типичные ошибки

Ошибки в задании 11 почти всегда однотипные — проверь себя по этому списку перед ответом.

1. Перепутал роли коэффициентов: считает b наклоном, а k пересечением с осью. Запомни: b — пересечение с осью Oy, k — наклон.
2. Разделил «наоборот»: изменение x делится на изменение y. Наклон — это всегда Δy / Δx: сколько меняется вертикаль при шаге по горизонтали.
3. Подставил координаты в неверном порядке: в точке (x; y) первое число — по горизонтали, второе — по вертикали.
4. Не заметил масштаб клеток: если по осям разный шаг делений, снятые «на глаз» координаты будут неверными.

Задание 11 хорошо тренируется: через десять-двадцать картинок рука сама тянется к точкам с целыми координатами, а коэффициенты находятся за полминуты. Дальше по теме: у нас есть разборы геометрического смысла производной, где графики тоже нужно читать, и статьи про исследование функций с помощью производной. А если хочется системной подготовки, приходи на Просто Урок — там любую тему объяснят спокойно и по шагам.