ЕГЭ профиль: задание 12 — исследование функции

Что проверяет задание 12

Задание 12 профильного ЕГЭ часто пугает несложными вычислениями, а большим количеством шагов. Нужно исследовать функцию: найти область определения, нули, промежутки знакопостоянства, возрастание и убывание, экстремумы и иногда построить график. Разберём алгоритм, который помогает не терять баллы из-за невнимательности.

Исследование начинается с вопроса: какие значения x допустимы? Для дроби знаменатель не равен нулю, подкоренное выражение неотрицательно, а аргумент логарифма положителен. Затем ищем нули функции и отмечаем важные точки на числовой прямой. Полезно повторить свойства графиков в статье о линейной функции и графиках.

f(x) = (x − 2)² − 1
Область определения: все x
Нули: x = 1 и x = 3
Вершина: (2; −1)

Типичная ошибка — сразу строить график, не проверив ограничения. Например, у функции 1 ÷ (x − 4) точка x = 4 исключается, поэтому график нельзя соединять через неё.

Алгоритм исследования функции

Работай по плану. Сначала запиши область определения. Потом найди точки пересечения с осями: нули дают пересечение с осью Ox, а значение f(0) — с осью Oy, если ноль входит в область определения. После этого исследуй знак функции на промежутках.

Для производной порядок такой: найди f′(x), реши уравнение f′(x) = 0, отметь также точки, где производная не существует. На каждом промежутке определи знак производной. Плюс означает возрастание, минус — убывание. В критических точках сравни значения функции и сделай вывод об экстремумах.

Например, если f′(x) = 2x − 6, то производная отрицательна при x < 3 и положительна при x > 3. Значит, функция сначала убывает, затем возрастает. Ошибка — назвать точку x = 3 максимумом: это минимум.

Разобранный пример полностью

Исследуем функцию f(x) = x³ − 3x² − 9x + 5. Она определена на всей числовой прямой, потому что является многочленом. Найдём производную и критические точки, а затем определим характер изменения функции.

f′(x) = 3x² − 6x − 9 = 3(x + 1)(x − 3)
f′(x) = 0: x = −1 или x = 3
f′(x) > 0 при x < −1 и x > 3
f′(x) < 0 при −1 < x < 3
f(−1) = 10; f(3) = −22
Возрастает: (−∞; −1] и [3; +∞)
Убывает: [−1; 3]
Максимум: 10; минимум: −22

В точке x = −1 знак производной меняется с плюса на минус, поэтому это максимум. В точке x = 3 знак меняется с минуса на плюс, поэтому это минимум. При необходимости дополнительно вычисли f(0) = 5 для пересечения с осью Oy.

Типичная ошибка — потерять множитель 3 и неверно решить квадратное уравнение. Множитель, отличный от нуля, не влияет на корни, но его нельзя случайно заменить другим числом.

Ограничения и таблица знаков

В заданиях встречаются дробно-рациональные, коренные и логарифмические функции. Для каждой есть своё ограничение. У дроби знаменатель не равен нулю; под корнем выражение неотрицательно; в логарифме выражение строго положительно. Эти условия записывай до любых преобразований.

Рассмотрим f(x) = √(x − 2) ÷ (x − 5). Область определения задаётся двумя условиями: x − 2 ≥ 0 и x − 5 ≠ 0. Поэтому x ≥ 2, но x = 5 исключается. На числовой прямой получаем [2; 5) и (5; +∞).

Если нужно определить знак, отдельно учитывай знак числителя и знаменателя. Например, в функции (x − 1) ÷ (x + 2) важные точки — −2 и 1. Точка −2 запрещена, а в точке 1 функция равна нулю. Знаки на промежутках: плюс, минус, плюс.

Частая ошибка — включить запрещённую точку в ответ или поставить знак ≥ вместо >. Перед финальной записью проверь каждую границу исходной функцией.

График, симметрия и типичные ошибки

После вычислений проверь, согласуется ли результат с видом графика. Для квадратичной функции f(x) = ax² + bx + c ось симметрии проходит через x = −b ÷ (2a). Если a положительно, ветви направлены вверх, если отрицательно — вниз. Это позволяет быстро проверить найденный экстремум.

Например, для f(x) = x² − 4x + 3 ось симметрии: x = 2, вершина имеет координаты (2; −1), а нули равны 1 и 3. График симметричен относительно прямой x = 2. Дополнительные навыки решения квадратных уравнений можно повторить в статье о дискриминанте.

Самые частые ошибки: перепутать максимум и минимум, неверно расставить знаки производной, забыть скобки в дробях и записать промежуток без учёта запрещённых значений. После решения полезно подставить одну контрольную точку в каждый промежуток.

Если хочется закрепить порядок действий, открой бесплатную практику в личном кабинете: решай похожие примеры и сразу сверяй логику решения.

Что запомнить

Исследование функции выполняй последовательно: область определения, нули и пересечения с осями, производная, критические точки, таблица знаков, промежутки возрастания и убывания, экстремумы. Для сложных выражений отдельно проверяй ограничения, а для графика — симметрию и контрольные значения.

Пример быстрой проверки: если f′(x) меняет знак с минуса на плюс, в точке минимум; если с плюса на минус — максимум. Запрещённые значения никогда не входят в область определения, даже если после сокращения выражение выглядит проще.

Не стремись запомнить отдельные шаблоны без понимания: объясни себе, почему меняется знак и что происходит с графиком. Зарегистрируйся в личном кабинете и реши 5 заданий бесплатно — так алгоритм станет привычным.

Типичная ошибка на финише — написать только ответ без промежутков или перепутать координату точки с её значением. Проверь оформление по условию.