ЕГЭ профиль: задание 14 — стереометрия

Задание 14: что проверяет стереометрия

В задании 14 ЕГЭ по профильной математике нужно увидеть пространственную фигуру, выбрать удобный метод и аккуратно довести решение до ответа. Многие теряют баллы не из-за сложной геометрии, а потому что путают высоту, диагональ и угол. Здесь разберём алгоритм, который помогает превратить объёмный рисунок в понятную последовательность действий.

Чаще всего встречаются призма, пирамида, куб, параллелепипед, цилиндр или конус. В условии могут попросить найти расстояние между прямыми, угол, площадь поверхности или объём. Начинай не с вычислений, а с перевода текста на язык чертежа.

Прямоугольный параллелепипед:
V = a · b · c
Sполн = 2 · (ab + bc + ac)

Например, если стороны основания равны 3 и 4, а высота равна 5, то объём равен 3 · 4 · 5 = 60. Ошибка — подставить в формулу площадь боковой поверхности или забыть, какая величина является высотой.

Полезно повторить чтение схем и пропорций в материале о круговых диаграммах: навык внимательно извлекать данные тоже работает на экзамене.

Алгоритм решения по шагам

Шаг первый — определи фигуру и выпиши, что требуется найти. Шаг второй — найди известный прямоугольный треугольник: в нём обычно лежит ключ к длине или углу. Шаг третий — запиши теорему Пифагора, формулу площади или объёма. Только после этого выполняй вычисления.

Например, в прямой призме диагональ основания равна 5, высота равна 12. Пространственная диагональ образует с ними прямоугольный треугольник:

d² = 5² + 12²
d² = 25 + 144 = 169
d = 13

Если в условии спрашивают угол между диагональю и основанием, сначала выдели её проекцию на основание. Для угла α используют отношение синуса, косинуса или тангенса — в зависимости от известных сторон. Не подменяй угол между прямыми углом между отрезком и плоскостью.

Типичная ошибка — считать пространственную диагональ суммой рёбер. Длины в разных направлениях складываются по теореме Пифагора, а не арифметически. Если сомневаешься, проверь размерность и нарисуй треугольник отдельно.

После разбора можно открыть бесплатную практику в личном кабинете и проверить, насколько уверенно ты узнаёшь нужный треугольник.

Главные формулы и связи

В стереометрии важно не заучить длинный список, а понимать, какая формула соответствует условию. Объём призмы равен произведению площади основания на высоту. Для пирамиды появляется коэффициент ⅓. Площадь боковой поверхности зависит от формы фигуры и данных задачи.

Пример: основание пирамиды имеет площадь 18, высота равна 6. Тогда V = ⅓ · 18 · 6 = 36. Если вместо высоты дана апофема, сначала найди перпендикулярную высоту через прямоугольный треугольник.

Для повторения связи производной и геометрического смысла пригодится статья о геометрическом смысле производной: она развивает привычку видеть за формулой конкретную величину.

Разобранный пример полностью

Рассмотрим куб ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром 6. Найдём расстояние от вершины A до плоскости BCC₁B₁. Эта плоскость является боковой гранью куба, поэтому искомое расстояние идёт перпендикулярно грани.

Из вершины A опустим перпендикуляр на ребро BC. Его основание — точка B, потому что AB перпендикулярно BC, а AB также перпендикулярно вертикальному направлению грани. Значит, отрезок AB перпендикулярен всей плоскости BCC₁B₁.

AB = 6
AB ⟂ плоскости BCC₁B₁
ρ(A; BCC₁B₁) = AB = 6

Ответ: 6. Здесь не понадобились ни диагональ куба, ни теорема Пифагора: достаточно распознать грань и перпендикуляр. Именно такой выбор короткого пути ценится в задании 14.

Типичная ошибка — взять диагональ AC и назвать её расстоянием до боковой грани. Диагональ лежит в основании и не является перпендикуляром к нужной плоскости. Перед решением спроси себя: отрезок заканчивается на плоскости и образует с ней прямой угол?

Если хочется решать похожие задачи с подсказками, зарегистрируйся для бесплатной практики и разбирай ошибки сразу после ответа.

Типичные ошибки и самопроверка

Первая ошибка — неверно прочитать рисунок: видимое ребро не всегда перпендикулярно другому. Вторая — использовать формулу площади вместо формулы объёма. Третья — потерять квадратные или кубические единицы. Четвёртая — округлить число слишком рано и получить неточный результат.

Например, если радиус цилиндра 3, высота 4, то объём равен π · 3² · 4 = 36π. Запись 12π означает, что радиус не возвели в квадрат. Если нужен десятичный ответ, округляй только в самом конце.

Проверь решение по трём вопросам: все ли данные использованы; соответствует ли найденный отрезок требуемой величине; разумен ли результат. Расстояние не может быть отрицательным, а площадь не измеряется в кубических единицах.

Ещё одна ловушка — перепутать угол между прямыми с углом между прямой и плоскостью. Для плоскости берут угол между прямой и её ортогональной проекцией. Если чертёж перегружен, сделай отдельный рисунок с двумя ключевыми направлениями.

В личном кабинете можно решать задания с автоматической проверкой: это удобнее, чем просто перечитывать формулы, потому что ошибка становится заметной на конкретном шаге.

Что запомнить перед экзаменом

Задание 14 начинается с рисунка, а не с формулы. Определи фигуру, выпиши данные, найди перпендикулярный треугольник или нужную проекцию. Для объёма всегда проверь основание и высоту; для расстояния — перпендикуляр; для угла — направление и его проекцию.

Пример короткой самопроверки: у пирамиды Sосн = 24, h = 5. Тогда V = ⅓ · 24 · 5 = 40. Если получилось 120, потерян коэффициент ⅓. Если известна апофема, не называй её высотой без доказательства.

Типичная ошибка перед экзаменом — пытаться запомнить решение одного рисунка. Лучше тренировать перенос метода на куб, призму, пирамиду и тела вращения. После каждого задания записывай, какой признак помог выбрать формулу.

Следующий шаг простой: зарегистрируйся и реши 5 заданий бесплатно, отмечая не только ответ, но и место, где возникло сомнение. Так теория превращается в устойчивый навык.