ЕГЭ профиль: задание 17 — планиметрия

Задание 17: планиметрия, которая решается по чертежу

Ты открываешь вариант, видишь треугольник с окружностью и понимаешь: условие прочитал, а с чего начать — не ясно. Знакомо? Проблема почти никогда не в «сложной геометрии». Задание 17 профиля проверяет три вещи: умение увидеть на чертеже подобие, знание базовых теорем и аккуратность в вычислениях. Пункт «а» обычно просит доказательство, пункт «б» — конкретные числа.

Хорошая новость: набор идей в планиметрии ограничен. Подобие треугольников, теорема косинусов, вписанные углы, свойства биссектрисы и касательной — этого хватает почти всегда. Дальше всё решает порядок действий, а не везение.

В этой статье соберём рабочий алгоритм: как читать чертёж, какие факты держать в голове и как довести решение до ответа без арифметических обид.

Если хочется сразу пробовать, загляни в личный кабинет: там бесплатные задачи с проверкой, и первая пятёрка даёт понятную обратную связь.

Ещё один навык — доводить простые операции до автоматизма. Помогут материалы про умножение и деление: да, пятый класс, но именно там живут ошибки в дробях и пропорциях.

Что нужно знать до старта: базовый арсенал

Прежде чем решать, собери «аптечку» фактов. Без них любой чертёж превращается в угадайку, а время на экзамене уходит в пустоту.

Ключевые формулы держи под рукой: a² = b² + c² − 2bc·cos α, a ÷ sin α = 2R, S = ½ · a · b · sin γ. Площади подобных фигур относятся как k², а не как k — это спасает в пункте «б».

Проверь себя: если в задаче есть окружность и хорда, почти наверняка пригодится вписанный угол или касательная.

Типичная ошибка новичка — считать, что вписанный угол равен дуге. Нет: он равен её половине. Вторая частая оплошность — брать подобие там, где треугольники только «на глаз» похожи, без доказательства равных углов. Чертёж должен быть крупным, с подписанными вершинами.

Алгоритм: от условия к цепочке равенств

Работай по шагам, как наставник у доски.

Шаг 1. Перенеси условие на чертёж: отметь равные отрезки, прямые углы, параллельность.

Шаг 2. Запиши отдельно, что дано и что нужно найти в пунктах «а» и «б».

Шаг 3. Найди пару равных углов: вертикальные, накрест лежащие, вписанные, углы при параллельных.

Шаг 4. Через подобие получи пропорцию, через теорему косинусов — уравнение.

Шаг 5. В пункте «б» подставляй числа в самом конце, чтобы не тащить дроби через всё решение.

Типичная ошибка — прыгнуть сразу к вычислениям, минуя доказательство. В пункте «а» эксперты смотрят именно на обоснование, и «видно из рисунка» баллов не приносит.

Разбор задачи: высота в прямоугольном треугольнике

В прямоугольном треугольнике ABC угол C равен 90°, CH — высота, опущенная на гипотенузу, AH = 4, BH = 9. Найди CH, AC, BC и площадь треугольника.

Треугольники ACH и CBH подобны: ∠AHC = ∠CHB = 90°, ∠ACH = ∠CBH (оба дополняют угол A до 90°).
Из подобия: AH ÷ CH = CH ÷ BH → CH² = AH · BH = 4 · 9 = 36 → CH = 6.
Гипотенуза: AB = AH + BH = 4 + 9 = 13.
AC = √(AB · AH) = √(13 · 4) = 2√13.
BC = √(AB · BH) = √(13 · 9) = 3√13.
Площадь: S = ½ · AB · CH = ½ · 13 · 6 = 39.
Проверка: S = ½ · AC · BC = ½ · 2√13 · 3√13 = ½ · 6 · 13 = 39 — сходится.

Здесь работает главная мысль задания 17: высота к гипотенузе рождает три подобных треугольника, и из них вылезают готовые формулы.

Типичная ошибка — перепутать, что на что делить: пропорцию пишут как «AH ÷ CH = BH ÷ CH» и получают бессмыслицу. Выписывай соответствие вершин явно.

Хочешь прогнать такие чертежи руками? В личном кабинете есть задачи с пошаговой проверкой.

Типичные ошибки и как их не допустить

Соберём то, что чаще всего роняет баллы.

Первое — нет доказательства: пункт «а» требует ссылок на теоремы, а не «очевидно».

Второе — округления раньше времени: √13 ≈ 3,6 лучше оставить корнем до самого ответа.

Третье — потеря второго случая: иногда чертёж допускает два расположения точки.

Четвёртое — неверная связь углов: центральный и вписанный путают местами.

Полезно тренировать базовые вычисления отдельно: чем увереннее ты считаешь, тем больше времени остаётся на идею. Школьникам помладше пригодится материал про задание 2 ОГЭ: там те же углы и отношения, только проще.

И проверяй ответ: подставь его в условие и посмотри, сходится ли геометрия.

Что запомнить

Соберём выжимку.

1. Сначала чертёж и равные углы, потом вычисления.

2. Подобие — главный инструмент: стороны относятся как k, площади как k².

3. Теоремы косинусов и синусов закрывают случаи, где подобия нет.

4. В пункте «б» подставляй числа в финале и оставляй точные значения.

5. Обосновывай каждый шаг ссылкой на теорему.

И главное: планиметрия растёт только от количества разобранных чертежей, а не от перечитывания теории.

Если проседает арифметика, отдельно прогони действия с дробями и пропорциями: они дают больше потерь, чем сама геометрия.

Заведи тетрадь приёмов: одна страница — одна идея, один чертёж-образец и одна ошибка, которую ты больше не повторишь.

Следующий шаг — зарегистрируйся и реши 5 заданий бесплатно: в личном кабинете они идут от простых к сложным, с подсказками и проверкой. После каждой задачи смотри, где именно ты срезал угол — в идее или в счёте.