Шпаргалка: формулы алгебры и начал анализа 10–11 класса

1. Степени, корни и преобразования

Перед контрольной легко растеряться: формулы знакомы, но непонятно, какую применить первой. Эта шпаргалка поможет быстро восстановить опорные правила, проверить решение и увереннее перейти к заданиям экзамена.

Для степеней при одинаковом основании действуют правила: aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ, (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ, a⁰ = 1 при a ≠ 0. Отрицательная степень означает обратное число: a⁻ⁿ = 1 ÷ aⁿ. Корень связан с дробной степенью: ⁿ√a = a¹⁄ⁿ.

Пример:
(x + 3)² = x² + 6x + 9
√50 = √(25 · 2) = 5√2
(2a²)³ = 8a⁶

Сначала раскрой скобки или вынеси полный квадрат из-под корня, затем приведи подобные слагаемые. Типичная ошибка — складывать показатели в выражении (a + b)ⁿ или сокращать слагаемые, которые не являются множителями.

2. Уравнения, системы и неравенства

Линейное уравнение ax + b = 0 имеет корень x = −b ÷ a, если a ≠ 0. Для квадратного уравнения ax² + bx + c = 0 вычисляют D = b² − 4ac, затем x = (−b ± √D) ÷ 2a. При D < 0 действительных корней нет.

В системах удобно применять подстановку или сложение. При умножении неравенства на отрицательное число знак меняется: −2x > 6 означает x < −3.

Пример:
x² − 5x + 6 = 0
D = 25 − 24 = 1
x₁ = (5 + 1) ÷ 2 = 3, x₂ = (5 − 1) ÷ 2 = 2

3. Функции и графики

Функция задаёт зависимость y от x. Для прямой y = kx + b число k показывает наклон, а b — точку пересечения с осью y. Парабола y = ax² + bx + c имеет вершину с абсциссой x₀ = −b ÷ 2a. Затем находят y₀ подстановкой.

Для обратной пропорциональности y = k ÷ x область определения: x ≠ 0. У показательной функции y = aˣ основание a > 0 и a ≠ 1. Если a > 1, функция возрастает; если 0 < a < 1, убывает. Логарифм logₐb существует при a > 0, a ≠ 1, b > 0.

Пример:
y = x² − 4x + 3
x₀ = 4 ÷ 2 = 2
y₀ = 2² − 4 · 2 + 3 = −1
Вершина: (2; −1)

Чтобы построить график, найди область определения, нули функции и несколько удобных точек. Типичная ошибка — забыть ограничения логарифма или перепутать направление ветвей параболы: оно определяется знаком a.

Если графики пока выглядят запутанно, в личном кабинете можно начать с бесплатной практики и закрепить чтение функций на коротких заданиях.

4. Тригонометрия

Главное тождество: sin²x + cos²x = 1. Также tg x = sin x ÷ cos x, ctg x = cos x ÷ sin x. Формулы сложения помогают раскрывать угол: sin(α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β, cos(α + β) = cos α · cos β − sin α · sin β.

Полезны двойные углы: sin 2x = 2 sin x · cos x, cos 2x = cos²x − sin²x. При решении уравнений помни периоды: sin x = 0 при x = πn, cos x = 0 при x = π ÷ 2 + πn, где n — целое число.

Пример:
2 sin x · cos x = 0
sin x = 0 или cos x = 0
x = πn или x = π ÷ 2 + πn

Сначала разложи произведение на случаи, затем запиши общий ответ и проверь область допустимых значений. Типичная ошибка — оставить только один корень на отрезке или забыть, что деление на cos x требует cos x ≠ 0.

Для геометрических задач полезно повторить формулы площадей фигур с выводом: тригонометрия часто появляется в формуле площади через две стороны и угол.

5. Производная и первообразная

Производная показывает скорость изменения функции и помогает исследовать график. Базовые правила: (xⁿ)′ = n · xⁿ⁻¹, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x, (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1 ÷ x. Для суммы производная берётся почленно, а для сложной функции применяется правило цепочки.

Если f′(x) > 0, функция возрастает, если f′(x) < 0 — убывает. Точки, где f′(x) = 0 или производная не существует, проверяют как возможные экстремумы. Первообразная восстанавливает функцию: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹ ÷ (n + 1) + C при n ≠ −1.

Пример:
f(x) = x³ − 3x² + 2
f′(x) = 3x² − 6x = 3x(x − 2)
f′(x) = 0 при x = 0 и x = 2
Знаки производной: «+», «−», «+», значит x = 0 — максимум, x = 2 — минимум

Не путай знак производной со знаком самой функции. Для оформления геометрической части экзамена пригодится памятка как записывать решение, чтобы не терять баллы.

6. Что запомнить

Держи в памяти не отдельные символы, а алгоритмы. В преобразованиях сначала учитывай ОДЗ и только потом сокращай. В квадратном уравнении находи дискриминант. В неравенстве следи за сменой знака. В исследовании функции начинай с области определения, нулей и производной.

Мини-памятка:
D = b² − 4ac
x₀ = −b ÷ 2a
sin²x + cos²x = 1
f′(x) > 0 → функция возрастает
∫f′(x)dx = f(x) + C

Пример самопроверки: для f(x) = x² − 6x + 5 вершина имеет x₀ = 3, значение f(3) = −4, значит минимальное значение равно −4. Ошибка — назвать −4 координатой вершины вместо пары (3; −4).

Сохрани шпаргалку рядом с тетрадью и решай по одному примеру на каждый блок. Зарегистрируйся и реши 5 заданий бесплатно: так формулы перейдут из памяти в навык.