Просто УрокПлощади фигур: все формулы с выводом
Площади — один из самых «выгодных» разделов геометрии: формул немного, а встречаются они и в ОГЭ, и в ЕГЭ, и внутри задач по стереометрии. Разбираем каждую формулу с выводом, чтобы их можно было не зубрить, а восстанавливать за минуту, и добавляем приём для клетчатой бумаги — формулу Пика.
Что такое площадь
Площадь — это число, которое показывает, сколько единичных квадратов помещается внутри фигуры. Один квадратный метр — квадрат со стороной 1 м: если комната «собирается» из двадцати таких квадратов, её площадь равна 20 м².
На экзаменах площади встречаются и как отдельные задачи, и внутри других тем. Поэтому формулы важно уметь выводить: выведенная однажды формула уже не забудется.
Прямоугольник и квадрат
Начнём с самой простой фигуры. Прямоугольник со сторонами a и b заполняется рядами единичных квадратов: в одном ряду их a, и таких рядов b. Отсюда главная формула.
\( S = a \cdot b \)
Пример: комната 4 м на 5 м имеет площадь 20 м² — столько квадратных метров покрытия и нужно купить.
\( S = a^2 \)
Квадрат — прямоугольник с равными сторонами. Не путай периметр и площадь: периметр — сумма сторон, площадь — в квадратных метрах.
Параллелограмм
Параллелограмм — четырёхугольник, у которого противоположные стороны параллельны. Если отрезать от него прямоугольный треугольник слева и приставить справа, получится прямоугольник с тем же основанием a и высотой h. Значит, площади равны.
\( S = a \cdot h \)
Высота h — перпендикуляр к основанию, и обычно она меньше наклонной стороны: подставлять «боковую» сторону вместо высоты нельзя. Если даны две стороны и угол α между ними, формула принимает другой вид.
\( S = a \cdot b \cdot \sin \alpha \)
Треугольник
Треугольник — это половина параллелограмма: любой треугольник достраивается до параллелограмма, состоящего из двух равных таких треугольников. Поэтому его площадь вдвое меньше.
\( S = ½ \cdot a \cdot h \)
- Пример: основание 8, высота 3.
- Умножаем: 8 · 3 = 24.
- Делим пополам: 24 / 2 = 12.
- Ответ: 12.
Есть и вторая форма — через две стороны и угол между ними; она выручает, когда высоты в условии нет.
\( S = ½ \cdot a \cdot b \cdot \sin \gamma \)
В прямоугольном треугольнике высота — это второй катет, поэтому площадь равна половине произведения катетов.
Трапеция
У трапеции два параллельных основания a и b. Средняя линия — отрезок, соединяющий середины боковых сторон, — равна полусумме оснований. Площадь равна средней линии, умноженной на высоту.
\( S = \dfrac{a + b}{2} \cdot h \)
Проверь формулу в крайних случаях: при равных основаниях трапеция превращается в параллелограмм и формула даёт a · h, при «нулевом» основании — в треугольник и даёт ½ · a · h. Сходится — значит, формуле можно доверять.
Учите формулы парами «фигура + вывод», а не списком. Забыл формулу трапеции — разбей её на параллелограмм и треугольник. Вывод занимает минуту и защищает от подстановки «не тех» сторон.
Круг
Круг задаётся радиусом r. Разрежь его на секторы и выложи их в фигуру, близкую к прямоугольнику со сторонами πr и r, — получится формула.
\( S = \pi r^2 \)
Число π ≈ 3,14, но в ответе обычно оставляют π. Не путай площадь круга с длиной окружности C = 2πr: «забор» вокруг круга измеряется в метрах, а не в квадратных. Больше про это — в статье окружность и касательные.
Потренируй задачи на площади
В тренажёре ОГЭ выбери геометрию, получи короткую теорию и серии из пяти задач — от простых до экзаменационных. Регистрация занимает минуту и ничего не стоит.
Клетчатая бумага и формула Пика
Много задач даёт фигуру прямо на клетчатой бумаге. Первый способ — достроить её до прямоугольника и вычесть лишние треугольники: надёжно, но долго.
Второй способ — формула Пика. Она работает для любого многоугольника, у которого все вершины стоят в узлах клеток.
S = В + Г / 2 − 1
Здесь В — число узлов внутри фигуры, Г — число узлов на её границе, включая вершины. Пример: треугольник с вершинами (0; 0), (4; 0), (0; 3). Внутри лежат 3 узла, на границе их 8, значит S = 3 + 8/2 − 1 = 6. Проверка: ½ · 4 · 3 = 6. Сходится.
Важно: для круга на клетчатой бумаге формула Пика не годится — круг не многоугольник. Считай радиус по клеткам и используй S = πr².
Перед вычислением сделай прикидку: посчитай целые клетки внутри фигуры, а кусочки считай половинками. Если формула дала сильно другое число, ищи ошибку — прикидка занимает полминуты и страхует балл.
Шпаргалка по формулам
| Фигура | Формула | Ключ к запоминанию |
|---|---|---|
| Прямоугольник | S = a · b | две стороны |
| Квадрат | S = a² | сторона в квадрате |
| Параллелограмм | S = a · h | как прямоугольник, но по высоте |
| Треугольник | S = ½ · a · h | половина параллелограмма |
| Трапеция | S = (a + b)/2 · h | полусумма оснований на высоту |
| Круг | S = π r² | π на радиус в квадрате |
Площади — сквозная тема: в планиметрии они живут в задачах с треугольниками и окружностями, а в стереометрии объёмы призм, цилиндров и пирамид собираются именно из площадей. И помни: рядом всегда есть Просто Урок, где любую тему объяснят спокойно и по шагам.
Готовишься к экзаменам — не оставайся один
Задавай вопросы репетитору в любой момент, тренируй нужные номера и следи за прогрессом в личном кабинете. Бесплатно, в браузере, без установки.
Частые вопросы
Как быстро найти площадь фигуры на клетчатой бумаге?
Считай по формуле Пика: S = В + Г/2 − 1, где В — число узлов внутри фигуры, Г — число узлов на её границе. Для круга формула не работает: найди радиус по клеткам и вычисли S = πr².
Почему в формуле площади треугольника половина?
Треугольник достраивается до параллелограмма с тем же основанием и высотой, а такой параллелограмм состоит из двух равных треугольников. Значит, на треугольник приходится ровно половина площади.
Чем высота параллелограмма отличается от его стороны?
Высота — это перпендикуляр к основанию, и она короче наклонной боковой стороны. Подставлять в формулу S = a·h боковую сторону вместо высоты — частая ошибка, которая стоит балла.
Какие единицы у площади и как их переводить?
Площадь измеряется в квадратных единицах: 1 м² = 100 дм² = 10 000 см². При переводе множитель возводится в квадрат: в одном метре 100 сантиметров, значит, в одном квадратном метре 10 000 квадратных сантиметров.